Příručka pro matematický nástroj Genius.

# Příručka k aplikaci Genius

1997 – 2011 Jiří (George) Lebl
2004 Kai Willadsen

Je povoleno kopírovat, šířit a/nebo upravovat tento dokument za podmínek GNU Free Documentation License (GFDL) ve verzi 1.1 nebo v jakékoli další verzi vydané nadací Free Software Foundation; bez neměnných oddílů, bez textů předních desek a bez textů zadních desek. Kopii licence GFDL naleznete pod tímto odkazem nebo v souboru COPYING-DOCS dodávaném s touto příručkou.

Tato příručka je součástí sbírky příruček GNOME šířených za podmínek licence GFDL. Pokud chcete tento dokument šířit odděleně od sbírky, musíte přiložit kopii licence dle popisu v oddílu 6 dané licence.

Mnoho užívaných názvů určených k zviditelnění produktů nebo služeb jsou ochranné známky. Na místech, kde jsou tato jména v dokumentaci užita a členové Dokumentačního projektu GNOME jsou si vědomi skutečnosti, že se jedná o ochrannou známku, je takové jméno psáno velkými písmeny celé nebo s velkým písmenem na začátku.

DOKUMENT A JEHO UPRAVENÉ VERZE JSOU ŠÍŘENY V SOULADU SE ZNĚNÍM LICENCE GNU FREE DOCUMENTATION LICENSE S NÁSLEDUJÍCÍM USTANOVENÍM:

1. DOKUMENT JE POSKYTOVÁN V PODOBĚ „JAK JE“, BEZ ZÁRUKY JAKÉHOKOLIV DRUHU, NEPOSKYTUJÍ SE ANI ODVOZENÉ ZÁRUKY, ZÁRUKY, ŽE DOKUMENT, NEBO JEHO UPRAVENÁ VERZE, JE BEZCHYBNÝ, NEBO ZÁRUKY PRODEJNOSTI, VHODNOSTI PRO URČITÝ ÚČEL, NEBO NEPORUŠENOSTI. RIZIKO NEKVALITY, NEPŘESNOSTI A ŠPATNÉHO PROVEDENÍ DOKUMENTU, NEBO JEHO UPRAVENÉ VERZE, NESETE VY. POKUD JE TENTO DOKUMENT NEBO JEHO UPRAVENÁ VERZE VADNÁ V JAKÉMKOLIV SMYSLU, VY (NIKOLIV PŮVODCE, AUTOR NEBO JAKÝKOLIV PŘISPĚVATEL) PŘEBÍRÁTE ODPOVĚDNOST ZA JAKÉKOLIV NÁKLADY NA NUTNÉ ÚPRAVY, OPRAVY ČI SLUŽBY. TOTO PROHLÁŠENÍ O ZÁRUCE PŘEDSTAVUJE ZÁKLADNÍ SOUČÁST TÉTO LICENCE. BEZ TOHOTO PROHLÁŠENÍ NENÍ PODLE TÉTO DOHODY POVOLENO UŽÍVÁNÍ ANI ÚPRAVY TOHOTO DOKUMENTU; DÁLE

2. ZA ŽÁDNÝCH OKOLNOSTÍ A ŽÁDNÝCH PRÁVNÍCH PŘEDPOKLADŮ, AŤ SE JEDNÁ O PŘEČIN (VČETNĚ NEDBALOSTNÍCH), SMLOUVU NEBO JINÉ, NENÍ AUTOR, PŮVODNÍ PISATEL, KTERÝKOLIV PŘISPĚVATEL NEBO KTERÝKOLIV DISTRIBUTOR TOHOTO DOKUMENTU NEBO UPRAVENÉ VERZE DOKUMENTU NEBO KTERÝKOLIV DODAVATEL NĚKTERÉ Z TĚCHTO STRAN ODPOVĚDNÝ NĚJAKÉ OSOBĚ ZA PŘÍMÉ, NEPŘÍMÉ, SPECIÁLNÍ, NAHODILÉ NEBO NÁSLEDNÉ ŠKODY JAKÉHOKOLIV CHARAKTERU, VČETNĚ, ALE NEJEN, ZA POŠKOZENÍ ZE ZTRÁTY DOBRÉHO JMÉNA, PŘERUŠENÍ PRÁCE, PORUCHY NEBO NESPRÁVNÉ FUNKCE POČÍTAČE NEBO JINÉHO A VŠECH DALŠÍCH ŠKOD NEBO ZTRÁT VYVSTÁVAJÍCÍCH Z NEBO VZTAHUJÍCÍCH SE K POUŽÍVÁNÍ TOHOTO DOKUMENTU NEBO UPRAVENÝCH VERZÍ DOKUMENTU, I KDYŽ BY TAKOVÁTO STRANA BYLA INFORMOVANÁ O MOŽNOSTI TAKOVÉHOTO POŠKOZENÍ.

Jiří Lebl
Univerzita Illinois, Urbana-Champaign

     jirka@5z.com

Kai Willadsen
Univerzita Queensland, Austrálie

     kaiw@itee.uq.edu.au

0.2
červenec 2011

Jiri (George) Lebl jirka@5z.com

Tato příručka popisuje aplikaci Genius ve verzi 1.0.13.

Ohlasy

Pokud chcete oznámit chybu nebo navrhnout vylepšení vztahující se k aplikaci matematický nástroj Genius nebo této příručce, postupujte dle instrukcí na stránce Stránka s ohlasy na GNOME.

## Úvod

Aplikace matematický nástroj Genius je obecný kalkulátor pro potřeby jako pracovní kalkulátor, výukový nástroj v matematice a rovněž je použitelný ve vědeckých oborech. Jazyk, který matematický nástroj Genius používá, je navržen jako „matematický“ v tom smyslu, že by mělo platit „dostanete to, co si myslíte“. To ale samozřejmě není zcela dosažitelný cíl. Matematický nástroj Genius zahrnuje racionální čísla, celá čísla s libovolnou přesností a desetinná čísla s vícenásobnou přesností díky knihovně GMP. Pracuje s komplexními čísly v kartézské notaci. Umí dobře zpracovávat vektory a matice a umí základy lineární algebry. Programovací jazyk dovoluje definovat uživatelské funkce, proměnné a upravovat parametry.

Matematický nástroj Genius je šířen ve dvou verzích. Jedna verze je grafická verze GNOME, ve stylu rozhraní IDE a schopností vykreslovat funkce jedné nebo dvou proměnných. Verze pro příkazový řádek nevyžaduje GNOME, ale samozřejmě neimplementuje funkce, které vyžadují grafické rozhraní.

Tato verze příručky popisuje z větší části grafickou verzi kalkulátoru, ale jazyk je samozřejmě tentýž. Verze pouze pro příkazový řádek postrádá grafické funkce a všechnu další funkčnost vyžadující grafické uživatelské rozhraní.

## Začínáme

### Jak spustit matematický nástroj Genius

Matematický nástroj Genius můžete spustit následujícími způsoby:

Nabídka Aplikace

  V závislosti na vašem operačním systému a jeho verzi se může položka nabídky Matematický nástroj Genius vyskytovat na různých místech. Může být v podnabídkách Vzdělávání, Příslušenství, Kancelář, Věda nebo podobných, záleží na vašem konkrétním nastavení. Název položky, kterou hledáte je Matematický nástroj Genius. Až položku v nabídce naleznete, klikněte na ni a tím matematický nástroj Genius spustíte.

Dialogové okno Spustit aplikaci

  Položka nabídky nemusí být v závislosti na instalaci vašeho systému dostupná. Pokud se tak stane, můžete otevřít dialogové okno Spustit aplikaci a spustit `gnome-genius`.

Příkazový řádek

  Pro spuštění Matematického nástroje Genius ve verzi pro GNOME spusťte z příkazového řádku `gnome-genius`.

  Pokud chcete spustit jen verzi pro příkazový řádek, spusťte následující příkaz: `genius`. Tato verze nezahrnuje grafické prostředí a některá funkcionalita, jako kreslení, nebude dostupná.

### Když spustíte aplikaci Genius

Když spustíte matematický nástroj Genius ve vydání GNOME, zobrazí se okno jako je na obrázku .

Okno Matematického nástroje Genius

Ukazuje hlavní okno aplikace Matematický nástroj Genius. Obsahuje záhlaví, lištu nabídek, lištu nástrojů a pracovní oblast. Lišta nabídek obsahuje nabídky Soubor, Upravit, Kalkulátor, Nastavení a Nápověda.

Okno Matematického nástroje Genius obsahuje následující prvky:

Lišta nabídek

  Nabídky v liště nabídek obsahují všechny příkazy, které potřebujete pro práci se soubory v Matematickém nástroji Genius. Nabídka Soubor obsahuje položky pro načítání a ukládání položek a vytváření nových programů. Příkaz Načíst a spustit… neotevírá nové okno pro program, ale program jen přímo spustí. To je to stejné, co dělá příkaz `load`.

  Nabídka Kalkulátor ovládá výpočetní jádro. Umožňuje vám spustit právě vybraný program nebo přerušit právě probíhající výpočet. Můžete také hledat v úplných výrazech poslední odpovědi (to je užitečné, když je poslední odpověď delší, než se vloze do jedné obrazovky konzoly) nebo si zobrazovat seznam hodnot všech uživatelem definovaných proměnných. A nakonec poskytuje kreslící funkce přes uživatelsky přívětivé dialogové okno.

  Ostatní nabídky mají funkce podobné jako v jiných aplikacích.

Lišta nástrojů

  Lišta nástrojů obsahuje podmnožinu příkazů, které jsou dostupné z lišty nabídek.

Pracovní oblast

  Pracovní oblast je hlavní způsob, jak s aplikací komunikovat.

  Na začátku má pracovní oblast jedinou kartu Konzola, která je hlavním způsobem, jak komunikovat s kalkulátorem. V ní zapisujete výrazy a po zmáčknutí klávesy Enter jsou v ní hned vraceny výsledky.

  Případně můžete psát delší programy a ty se pak mohou objevit v samostatných kartách a mohou být uloženy do souborů pro pozdější opětovné použití.

## Základy používání

### Používání pracovní oblasti

Normálně s kalkulátorem komunikujete na kartě Konzola v pracovní oblasti. Pokud spustíte pouze textovou verzi, je konzola jediná dostupná věc. Jestli chcete používat matematický nástroj Genius pouze jako kalkulačku, jednoduše zde napište výraz a ten bude vyhodnocen.

Do Konzoly v pracovní oblasti zapište výraz a zmáčkněte Enter a výraz bude vyhodnocen. Výrazy se zapisují v jazyce nazývaném GEL. Většina jednoduchých výrazů v jazyce GEL vypadá podobně, jak je zvykem v matematice (respektive programovacích jazycích). Například:

    genius> 30*70 + 67^3.0 + ln(7) * (88.8/100)

nebo

    genius> 62734 + 812634 + 77^4 mod 5

nebo

    genius> | sin(37) - e^7 |

nebo

    genius> sum n=1 to 70 do 1/n

(Poslední je součet harmonické řady od 1 do 70)

Seznam funkcí a příkazů získáte zadáním:

    genius> help

Když chcete získat podrobnější nápovědu ke konkrétní funkci, zadejte:

    genius> help NázevFunkce

Pro zobrazení této příručky zadejte:

    genius> manual

Předpokládejme, že jste si již dříve uložili nějaké příkazy GEL jako program do souboru a teď je chcete spustit. Program ze souboru `cesta/k/programu.gel` spustíte tak, že napíšete:

    genius> load cesta/k/programu.gel

Matematický nástroj Genius sleduje, která složka je aktuální. Soubory v této aktuální složce vypíšete příkazem `ls`, aktuální složku změníte pomocí `cd složka`, stejně jako v unixovém příkazovém řádku.

### Jak vytvořit nový program

Když chcete začít psát nový program, zvolte Soubor Nový program a v pracovní oblasti se objeví nová karta. V té můžete nový program v jazyce GEL psát. Až jej dopíšete, můžete jej spustit pomocí Kalkulátor Spustit. Tím se váš program provede a na kartě Konzola zobrazí výstup. Ve výsledku je to stejné, jako byste vzali text celého programu a napsali jej do konzoly. Jediný rozdíl je v tom, že vstup je proveden nezávisle na konzole, zatímco výstup jde na konzolu. Kalkulátor Spustit vždy spustí aktuálně vybraný program, i když jste zrovna na kartě Konzola. Aktuálně vybraný program má svoji kartu označenou tučným písmem a vybere se tak, že na kartu prostě kliknete.

Program, který jste napsali, uložíte volbou Soubor Uložit jako…

### Jak otevřít a spustit program

Když chcete otevřít soubor, zvolte Soubor Otevřít. V pracovní oblasti se objeví nová karta obsahující daný soubor. Můžete ji využít k upravě souboru.

Pro spuštění programu ze souboru zvolte Soubor Načíst a spustit… Tím se program spustí, aniž by se otevírala zvláštní karta. To odpovídá chování příkazu `load`.

## Vykreslování

Vykreslování je podporováno pouze ve v grafické verzi GNOME. Veškeré vykreslování je přístupné z grafického rozhraní, ke kterému se dostanete z okna Vytvoření grafu. K tomuto oknu se dostanete kliknutím na tlačítko Graf na liště nástrojů nebo výběrem Vykrestlit

### Čárové grafy

Pro vykreslení grafu reálně vyjadřujícího funkce jedné proměnné otevřete okno Vytvoření grafu. Můžete také použít funkci `LinePlot` z příkazového řádku (viz její dokumentace).

Když kliknete na tlačítko Vykreslit, otevře se okno s několika kartami. Musíte být na kartě Čárový graf funkce a v ní na kartě Funkce/výrazy. Viz .

Okno Vytváření grafu

Ukazuje okno vytváření čárového grafu.

Do textových polí zapište výrazy, ve kterých je `x` nezávislou proměnnou. Stačí i napsat jen název funkce, jako `cos`, namísto vypisování `cos(x)`. Naráz můžete vykreslit grafy až deseti funkcí. Pokud uděláte chybu a Genius nemůže výstup zpracovat, naznačí to varovnou ikonou napravo od textového pole, ve kterém se chyba vyskytla a zároveň se objeví dialogové okno s chybou. V dolní části dialogového okna můžete měnit rozsah závislé a nezávislé proměnné. Zmáčknutím tlačítka Vykreslit se graf zobrazí, viz .

Okno s grafem

Výsledný graf.

Z tohoto místa můžete graf vytisknout, vytvořit z něj dokument ve formátu uzavřený postskript nebo PNG a nebo změnit zvětšení. Pokud není závislá osa správně nastavena, můžete Genius přimět, aby ji přizpůsobil pomocí nalezení extrému vykreslené funkce.

Ohledně kreslení pomocí příkazového řádku se podívejte do dokumentace na funkci `LinePlot`.

### Parametrické grafy

Na kartě vytváření grafu můžete zvolit také kartu Parametrické, pomocí které můžete vytvářet dvourozměrné parametrické grafy. Jde o způsob, jak vykreslit jednoduchou parametrickou funkci. Můžete zadat také body jako x a y nebo poskytnout jedno komplexní číslo. Viz .

Karta parametrických grafů

Parametrický graf v okně Vytváření grafu.

Příklad parametrického grafu je uveden na obrázku . Dělat můžete podobné operace jako u jiných čárových grafů. Na to, jak vykreslení provést z příkazového řádku, se podívejte do dokumentace na funkci `LinePlotParametric` nebo `LinePlotCParametric`.

Parametrické grafy

Výslední parametrický graf.

### Grafy směrových polí

Na kartě vytváření grafu můžete zvolit také kartu Směrové pole, pomocí které můžete vytvářet dvourozměrný graf směrového pole. Dělat můžete podobné operace jako u jiných čárových grafů. Na to, jak vykreslení provést z příkazového řádku, se podívejte do dokumentace na funkci `SlopefieldPlot`.

Když je aktivováno směrové pole, je přístupná dodatečná nabídka Řešitel, přes kterou můžete zobrazit dialogové okno řešitele. Zde můžete Genius přimět vykreslit konkrétní řešení pro zadané počáteční podmínky. Buď můžete počáteční podmínky zadat v dialogovém okně nebo kliknout přímo do grafu a tím určit počáteční bod. Dokud je dialogové okno řešitele aktivní, nefunguje zvětšování/zmenšování kliknutím a tažením. Pokud chcete měnit velikost pomocí myši, musíte dialogové okno nejdříve zavřít.

Řešitel používá standardní Rungeho-Kuttovu metodu. Grafy na obrazovce zůstávají, dokud nejsou vymazány. Řešitel se zastaví vždy, když dosáhne hranice okna s grafem. Změnou velikosti omezení nebo parametru se řešení nemění, musíte graf vymazat a znovu vykreslit se správnými parametry. Můžete také využít funkci `SlopefieldDrawSolution` k vykreslení řešení z příkazového řádku nebo programu.

### Grafy vektorových polí

Na kartě vytváření grafu můžete zvolit také kartu Vektorové pole, pomocí které můžete vytvářet dvourozměrný graf vektorového pole. Dělat můžete podobné operace jako u jiných čárových grafů. Na to, jak vykreslení provést z příkazového řádku, se podívejte do dokumentace na funkci `VectorfieldPlot`.

Standardně je zobrazen směr a velikost vektorového pole. Pokud chcete zobrazovat jen směr a velikost ne, zaškrtněte příslušné políčko a délka šipek se sjednotí.

Když je aktivováno vektorové pole, je přístupná dodatečná nabídka Řešitel, přes kterou můžete zobrazit dialogové okno řešitele. Zde můžete Genius přimět vykreslit konkrétní řešení pro zadané počáteční podmínky. Buď můžete počáteční podmínky zadat v dialogovém okně nebo kliknout přímo do grafu a tím určit počáteční bod. Dokud je dialogové okno řešitele aktivní, nefunguje zvětšování/zmenšování kliknutím a tažením. Pokud chcete měnit velikost pomocí myši, musíte dialogové okno nejdříve zavřít.

Řešitel používá standardní Rungeho-Kuttovu metodu. Grafy na obrazovce zůstávají, dokud nejsou vymazány. Změnou velikosti omezení nebo parametru se řešení nemění, musíte graf vymazat a znovu vykreslit se správnými parametry. Můžete také využít funkci `VectorfieldDrawSolution` k vykreslení řešení z příkazového řádku nebo programu.

### Plošné grafy

Genius umí vykreslovat i plochy. Vyberte kartu Plošný graf v hlavním sešitu okna Vytváření grafu. Zde můžete zadat jeden výraz, který by měl používat buď `x` a `y` jako reálné nezávislé proměnné nebo `z` jako komplexní proměnnou (kde `x` je reálné část `z` a `y` jeho imaginární část). Například pro vykreslení absolutní hodnoty funkce kosinus pro komplexní parametry, můžete zadat `|cos(z)|`. To je ekvivalentní k `|cos(x+1i*y)|`. Viz . Na to, jak vykreslení provést z příkazového řádku, se podívejte do dokumentace na funkci `SurfacePlot`.

Plošný graf

Modul (absolutní hodnota) komplexní funkce kosinus.

## Základy jazyka GEL

GEL znamená Genius Extension Language (rozšiřující jazyk Genius). Jedná se o jazyk, ve kterém píšete programy v kalkulátoru Genius. Program v jazyce GEL je jednoduše výraz, který je vyhodnocen jako číslo. Matematický nástroj Genius tak může sloužit jako jednoduchý kalkulátor nebo mocný nástroj pro teoretický vědecký výzkum. Cílem syntaxe je, aby byla snadná na naučení, jak jen to jde, zejména pro používání jako kalkulačka.

### Hodnoty

Hodnotami v jazyce GEL mohou být čísla, pravdivostní hodnoty nebo řetězce. Hodnoty mohou být mimo jiných věcí použity k výpočtům, přiřazovány do proměnných a vraceny z funkcí.

#### Čísla

Prvním typem čísel v GEL jsou celá čísla (integer). Celá čísla se zapisují normálním způsobem.

    1234

V šestnáctkové a osmičkové soustavě mohou být zapsána pomoci notace jazyka C. Například:

    0x123ABC
    01234

Nebo můžete čísla zapsat v libovolné soustavě pomocí `<základ>\<číslo>`. Číslice větší než 9 se zapisují pomocí písmen podobně jako u šestnáctkové soustavy. Například číslo v třiadvacítkové soustavě můžete zapsat:

    23\1234ABCD

Druhým typem čísel v GEL jsou racionální čísla (rational). Racionální čísla vznikají podělením dvou celých čísel. Takže můžete zapsat:

    3/4

abyste získali tři čtvrtiny. Racionální čísla rovněž akceptují smíšené zlomky. Takže abyste získali jedna a tři desetiny, můžete napsat:

    1 3/10

Dalším typem čísel jsou desetinná čísla – čísla s plovoucí desetinnou čárkou (floating). Zadávají se ve formátu podobném notaci C. Jako oddělovač exponentu můžete použít `E`, `e` or `@`. Upozorňujeme, že když použijete oddělovač exponentu, bude číslo bráno jako desetinné, i když neobsahuje desetinnou tečku. Například:

    1.315
    7.887e77
    7.887e-77
    .3
    0.3
    77e5

Když Genius vypisuje desetinné číslo, vždy u něj přidá `.0`, i když je celé. Tím se dává najevo, že desetinná čísla nemají dokonalou přesnost. Pokud je číslo zapsáno ve vědecké notaci, jedná se vždy o desetinné číslo a Genius tak nemusí vypisovat `.0`.

Posledním typem čísel jsou komplexní čísla (complex). Komplexní číslo můžete zadat jako součet reálné a imaginární části. Imaginární část končí `i`. Zde jsou příklady zápisu komplexních čísel:

    1+2i
    8.01i
    77*e^(1.3i)

Při zadávání imaginárních čísel musí číslo vždy předcházet před `i`. Pokud byste použili samotné `i`, Genius by se k němu stavěl, jako k odkazu na proměnnou `i`. Pokud potřebujete použít právě `i`, použijte místo toho `1i`.

Pokud chcete u imaginárních čísel použít notaci složených zlomků, musíte složený zlomek uzavřít do závorek, např. `(1 2/5)i`.

#### Pravdivostní hodnoty

Genius také nativně podporuje pravdivostní hodnoty (boolean). Jsou definovány dvě pravdivostní konstanty, `true` (pravda) a `false` (nepravda). Tyto identifikátory mohou být použity stejně jako jiné proměnné. Případně můžete použít i varianty `True`, `TRUE`, `False` a `FALSE`.

Všude, kde je očekáván pravdivostní výraz, můžete použít pravdivostní hodnotu nebo libovolný výraz, jehož výsledkem je číslo nebo pravdivostní hodnota. V případě, že má Genius vyhodnotit číslo jako pravdivostní hodnotu, pak je nula brána jako `false` a všechna ostatní čísla jako `true`.

Navíc můžete s pravdivostními hodnotami provádět aritmetické operace. Například:

    ( (1 + true) - false ) * true

je to stejné jako:

    ( (true or true) or not false ) and true

Podporovány jsou akorát sčítání, odčítání a násobení. Pokud mícháte ve výraze dohromady čísla s pravdivostními hodnotami, jsou čísla nejprve převedena na pravdivostní hodnoty podle pravidel popsaných výše. To znamená, že například:

    1 == true

je vždy vyhodnoceno jako `true`, protože 1 bude před porovnáním s `true` převedeno na `true`.

#### Řetězce

Stejně jako čísla a pravdivostní hodnoty, mohou být i řetězce (string) uloženy jako hodnoty v proměnných a předávány do funkcí. Můžete také spojit řetězec s jiným řetězcem pomocí operátoru plus. Například:

    a=2+3;"Výsledek je: "+a

vytvoří řetězec:

    Výsledek je: 5

Rovněž můžete používat escape sekvence ve stylu C, jako `\n`,`\t`,`\b`,`\a` a `\r`. Když potřebujete v řetězci `\` nebo `"`, musíte mu předřadit `\`. Například:

    "Lomítko: \\ Uvozovky: \" Tabulátory: \t1\t2\t3"

vytvoří řetězec:

    Lomítko: \ Uvozovky: " Tabulátory: 	1	2	3

Navíc můžete použít knihovní funkci `string` k převodu čehokoliv na řetězec. Například:

    string(22)

vrátí

    "22"

Řetězce je také možné porovnávat pomocí operátorů `==` (rovno), `!=` (není rovno) a `<=>` (porovnání).

#### Null

Existuje speciální hodnota nazývaná `null`. Nelze s ní provádět žádné operace a když je vrácena, není nic vypsáno. Proto je hodnota `null` užitečná, když nechcete z výrazu získat žádný výstup. Hodnotu `null` získáte tak, že napíšete výraz `.`, konstantu `null` nebo nic. Tím se nemyslí nic jiného, než že když výraz zakončíte oddělovačem `;`, je to stejné, jako byste jej zakončili oddělovačem následovaným `null`.

Příklad:

    x=5;.
    x=5;

Některé funkce vrací `null` v případě, že nelze vrátit žádnou hodnotu nebo nastane chyba. `null` se rovněž používá jako prázdný vektor, prázdná matice nebo prázdná reference (odkaz).

### Používání proměnných

Syntaxe:

    NazevPromenne

Příklad:

    genius> e
    = 2.71828182846

Pro vyhodnocení proměnné jako takové jednoduše napište její název. Bude vrácena hodnota proměnné. Proměnnou můžete použít kdekoliv, kde by se normálně použilo číslo nebo řetězec. Navíc jsou proměnné nutné při definici funkcí, které vyžadují argumenty (viz ).

Dokončování pomocí Tab

Můžete používat klávesu Tab, aby vám Genius dokončoval názvy proměnných. Zkuste napsat prvních pár písmen názvu a zmáčknout `Tab`.

Názvy proměnných rozlišují velikost písmen

U názvů proměnných se rozlišuje velikost písmen. To znamená, že proměnné `ahoj`, `AHOJ` a `Ahoj` jsou různé.

#### Nastavování proměnných

Syntaxe:

    <identifier> = <value>
    <identifier> := <value>

Příklad:

    x = 3
    x := 3

Pro přiřazení do proměnných se používá operátor `=` nebo `:=`. Tyto operátory nastaví hodnotu proměnné a vrátí hodnotu, kterou jste nastavili, takže můžete dělat takovéto věci:

    a = b = 5

Pro nastavení proměnné lze použít jak operátor `=`, tak `:=`. Rozdíl mezi nimi je v tom, že operátor `:=` vždy vystupuje jako operátor přiřazení, zatímco operátor `=` může být interpretován jako test rovnosti, jestliže je použit v místě, kde je očekáván pravdivostní výraz.

Ohledně záležitostí týkajících se rozsahu působnosti proměnných se podívejte na kapitolu .

#### Vestavěné proměnné

Jazyk GEL má několik „proměnných“ vestavěno, jako třeba `e`, `pi` nebo `GoldenRatio`. Jedná se o široce používané konstanty s příslušnými hodnotami, do kterých nelze přiřadit nové hodnoty. Těchto vestavěných proměnných je celá řada, viz pro kompletní seznam.

#### Proměnná s posledním výsledkem

Proměnné `Ans` a `ans` je možné použít k získání výsledku posledního výrazu. Například, když máte proveden nějaký výpočet a chcete k výsledku přičíst 389, můžete to udělat takto:

    Ans+389

### Používání funkcí

Syntaxe:

    NazevFunkce(argument1, argument2, …)

Příklad:

    Factorial(5)
    cos(2*pi)
    gcd(921,317)

Když chcete vyhodnotit funkci, zadejte její název následovaný argumenty v závorkách (pokud nějaké má). Vrátí se výsledek vzniklý za použití argumentů. Počet argumentů se samozřejmě liší funkci od funkce.

Existuje množství zabudovaných funkcí, jako třeba `sin`, `cos` a `tan`. Můžete použít zabudovanou funkci `help` k výpisu dostupných funkcí nebo si přečíst kapitolu .

Dokončování pomocí Tab

Můžete používat klávesu Tab, aby vám Genius dokončoval názvy funkcí. Zkuste napsat prvních pár písmen názvu a zmáčknout `Tab`.

Názvy funkcí rozlišují velikost písmen

U názvů funkcí se rozlišuje velikost písmen. To znamená, že funkce pojmenované `necoudelat`, `NECOUDELAT` a `NecoUdelat` jsou rozdílné funkce.

#### Definování funkcí

Syntaxe:

    function <identifier>(<comma separated arguments>) = <function body>
    <identifier> = (`() = <function body>)

Znak ``` je zpětná uvozovka a je důležitý u anonymních funkcí. Jeho nastavením do názvu proměnné se účinně definuje funkce.

Funkce přebírá buď žádný nebo více argumentů oddělených čárkou a vrací výsledek podle těla funkce. Pro definování vašich vlastních funkcí je hlavním důvodem pohodlí. Jednou z možností je mít sady funkcí definovaných v souborech GEL, které může Genius načíst a ty pak budou k dispozici. Například:

    function addup(a,b,c) = a+b+c

a `addup(1,4,9)` pak bude vracet 14.

#### Proměnný seznam argumentů

Když za název posledního argumentu v deklaraci funkce vložíte `...`, dovolí Genius v místě tohoto argumentu zadat libovolný počet argumentů. Pokud není předán žádný argument, pak je tento argument nastaven na `null`. V jiných případech bude vektorem obsahujícím všechny argumenty. Například:

    function f(a,b...) = b

Pak `f(1,2,3)` poskytne `[2,3]`, zatímco `f(1)` poskytne `null`.

#### Předávání funkcí funkcím

V aplikaci Genius je možné předat funkci jako argument jiné funkci. To lze udělat buď pomocí „uzlů funkcí“ nebo anonymních funkcí.

Když za název funkce nezadáte závorky, bude funkce vrácena jako „uzel funkce“, namísto toho, aby byla vyhodnocena. Uzel funkce je možné předat jiné funkci. Například:

    function f(a,b) = a(b)+1;
    function b(x) = x*x;
    f(b,2)

Pro předání funkce, která není definována, můžete použít anonymní funkce (viz ). Tzn., že můžete předat funkci, aniž byste ji pojmenovali. Syntaxe:

    function(<comma separated arguments>) = <function body>
    `(<comma separated arguments>) = <function body>

Příklad:

    function f(a,b) = a(b)+1;
    f(`(x) = x*x,2)

Vrátí hodnotu 5.

#### Operace s funkcemi

Některé funkce dovolují aritmetické operace a některé funkce s jedním argumentem, jako `exp` nebo `ln`, operace s funkcemi. Například

    exp(sin*cos+4)

vrátí funkci, která vezme `x` a vrátí `exp(sin(x)*cos(x)+4)`. To funkčně odpovídá tomu, jako byste napsali

    `(x) = exp(sin(x)*cos(x)+4)

Takováto operace může být výhodná, kdy potřebujete rychle definovat funkci. Například k vytvoření funkce nazvané `f`, která bude provádět operaci jako výše, prostě napište:

    f = exp(sin*cos+4)

Využít se to dá také při vykreslování grafů. Například k vykreslení druhé mocniny sinu zadejte:

    LinePlot(sin^2)

Ne všechny funkce je možné použít tímto způsobem. Například, pokud použijete binární operaci, musí funkce přebírat stejný počet argumentů.

### Absolutní hodnota / modul

Absolutní hodnotu uděláte tak, že něco uzavřete mezi `|`. Například:

    |a-b|

V případě, že výraz je komplexní číslo, je vrácen modul (absolutní hodnota komplexního čísla, někdy také nazýván norma), což je vzdálenost od počátku. Například: `|3 * e^(1i*pi)|` vrátí 3.

### Oddělovač

Když chcete v jazyce GEL napsat více než jeden příkaz, musíte použít oddělovač `;`, který slouží k oddělení výrazů, kdy složený výraz vrátí to, co je výsledkem posledního z nich. Předpokládejme, že jste napsali následující:

    3 ; 5

Takový výraz vrátí 5.

Občas to vyžaduje použití závorek, aby se předešlo nejednoznačnostem, zvláště když `;` není nejvyšším primitivem. Liší se to trochu od jiných programovacích jazyků, kde `;` je zakončovacím symbolem příkazů, zatímco v jazyce GEL je to v současnosti binární operátor. Pokud jste zběhlí v jazyce Pascal, mělo by to pro vás být přirozené. Nicméně Genius může předstírat, že se jedná o zakončovací symbol. Když se `;` nachází na konci závorek nebo bloku, Genius sám od sebe za něj připojí prázdný uzel podobně, jako byste napsali `;null`. To je užitečné v případě, kdy chcete vrátit hodnotu, řekněme ze smyčky, nebo když pracujete s návratovými hodnotami odděleně. Upozorňujeme, že to mírně zpomaluje provádění kódu, pokud je spouštěn často, protože je v něm navíc další operátor.

### Modulární aritmetika

Genius má implementovánu modulární aritmetiku. Když ji chcete použít, stačí přidat „mod <celé_číslo>“ za výraz. Například:

    2^(5!) * 3^(6!) mod 5

Pro modulární aritmetiku by bylo možné použít i počítání s celými čísly a následně určením zbytku na konci pomocí operátoru `%`, ale to je časově náročné, ne-li nemožné, při práci s většími čísly. Například `10^(10^10) % 6` jednoduše nebude pracovat (exponent bude příliš velký), zatímco `10^(10^10) mod 6` je spočteno v mžiku.

Můžete počítat převrácenou hodnotu čísla mod nějaké celé číslo jednoduše pomocí racionálních čísel (samozřejmě musí převrácená hodnota existovat). Například:

    10^-1 mod 101
    1/10 mod 101

Modulární aritmetiku můžete použít i pro výpočty s maticemi, včetně inverze, umocňování a dělení. Příklad:

    A = [1,2;3,4]
    B = A^-1 mod 5
    A*B mod 5

Takto byste měli získat jednotkovou matici, protože B bude inverzní maticí A mod 5.

Některé funkce, jako třeba `sqrt` nebo `log` pracují v modulární aritmetice jiným způsobem. Budou pracovat jako jejich diskrétní verze pracující v okruhu vámi vybraných celých čísel. Například

    genius> sqrt(4) mod 7
    =
    [2, 5]
    genius> 2*2 mod 7
    = 4
    genius> 5*5 mod 7
    = 4

`sqrt` bude ve skutečnosti vracet všechny možné odmocniny.

### Seznam operátorů GEL

Vše v jazyce gel jsou ve skutečnosti jen výrazy. Výrazy jsou dohromady řetězeny pomocí různých operátorů. Jak jste již viděli, i oddělovač je ve skutečnosti jen binární operátor jazyka. Zde je seznam operátorů jazyka GEL.

    a;b

  Oddělovač, který vyhodnocuje jak `a`, tak `b`, ale vrací výsledek pouze z `b`.

    a=b

  Operátor přiřazení.

    a:=b

  Operátor přiřazení. Přiřadí `b` do `a` (`a` musí být platná l-hodnota). Liší se od `=`, protože se nikdy nepřevádí na `==`.

    |a|

  Absolutní hodnota nebo modul (tj. absolutní hodnota komplexního čísla, pokud je `a` komplexní číslo).

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

    a^b

  Umocnění, umocní `a` na `b`-tou.

    a.^b

  Umocňování prvek po prvku. Umocní každý prvek matice `a` na `b`-tou. Nebo, když je `b` matice stejné velikosti jako `a`, umocňuje se prvek po prvku. Pokud je `a` číslo a `b` je matice, pak se vytvoří matice stejné velikosti jako `b` s `a` umocněným na všechny různé mocnitele v `b`.

    a+b

  Sčítání. Sečte dvě čísla, matice, funkce nebo řetězce. Pokud přičtete řetězec k čemukoliv, výsledkem bude vždy řetězec.

    a-b

  Odčítání. Odečte dvě čísla, matice nebo funkce.

    a*b

  Násobení. Jedná se o normální násobení matic.

    a.*b

  Násobení prvek po prvku v situaci, kdy `a` a `b` jsou matice.

    a/b

  Dělení.

    a./b

  Dělení prvků prvky.

    a\b

  Zpětné dělení. Je to to stejné, jako `b/a`.

    a.\b

  Zpětné dělení prvků prvky.

    a%b

  Operátor zbytku. Nepřepíná do režimu modulární aritmetiky, ale jen prostě vrátí zbytek podílu `a/b`.

    a.%b

  Operátor zbytku dělení prvků prvky. Vrací zbytky po dělení celočíselných prvků celočíselnými prvky `a./b`.

    a mod b

  Operátor modulární aritmetiky. Výraz `a` je vyhodnocen modulární aritmetikou vůči `b`. Viz . Některé funkce a operátory se chovají odlišně při modulární aritmetice s celými čísly.

    a!

  Operátor faktoriálu. Je to jako `1*…*(n-2)*(n-1)*n`.

    a!!

  Operátor dvojitého faktoriálu. Je to jako `1*…*(n-4)*(n-2)*n`.

    a==b

  Operátor porovnání (vrací `true` nebo `false`).

    a!=b

  Operátor nerovnosti, vrací `true` (pravda) v případě, že `a` se nerovná `b`, jinak vrací `false` (nepravda).

    a<>b

  Alternativní operátor nerovnosti, vrací `true` (pravda) v případě, že `a` se nerovná `b`, jinak vrací `false` (nepravda).

    a<=b

  Operátor menší nebo rovno, vrací `true` (pravda) v případě, že `a` je menší než nebo se rovná `b`, jinak vrací `false` (nepravda).

    a>=b

  Operátor větší nebo rovno, vrací `true` (pravda) v případě, že `a` je větší než nebo se rovná `b`, jinak vrací `false` (nepravda).

    a<=>b

  Operátor porovnání. V případě, že `a` je rovno `b`, vrací 0, pokud je `a` menší než `b` vrací -1 a pokud je `a` větší než `b`, vrací 1.

    a and b

  Logické AND.

    a or b

  Logické OR.

    a xor b

  Logické XOR.

    not a

  Logické NOT.

    -a

  Operátor negace.

    &a

  Reference na proměnnou (k předání odkazu na něco). Viz .

    *a

  Dereference proměnné (pro přístup k odkazované proměnné). Viz .

    a'

  Konjugovaná transpozice matice.

    a.'

  Transpozice matice, bez konjugace položek.

    a@(b,c)

  Získat prvek matice v řádku `b` a sloupci `c`. Pokud jsou `b`, `c` vektory, získají se odpovídající řádky, sloupce nebo podmatice.

    a@(b,)

  Získat řádek matice (nebo řádky, pokud je `b` vektor).

    a@(b,:)

  Stejné jako předchozí.

    a@(,c)

  Získat sloupec matice (nebo sloupce, pokud je `c` vektor).

    a@(:,c)

  Stejné jako předchozí.

    a@(b)

  Získat prvek z matice, s kterou se zachází jako s vektorem. Matice se prochází řádek pro řádku.

    a:b

  Sestavit vektor od `a` do `b` (nebo zadané části řádku, sloupce pro operátor `@`). Například pro získání řádků 2 až 4 z matice `A` byste mohli použít

      A@(2:4,)

  , kdy `2:4` vrátí vektor `[2,3,4]`.

    a:b:c

  Sestavit vektor od `a` do `c` s krokem `b`. Tj. například

      genius> 1:2:9
      =
      `[1, 3, 5, 7, 9]

    (a)i

  Vytvořit imaginární číslo (vynásobit `a` imaginárním `i`). Všimněte si, že normálně se `i` zapisuje jako `1i`. Takže předchozí je vlastně ekvivalentní

      (a)*1i

    `a

  Uvozovat identifikátor, kterýžto nebude vyhodnocen. Nebo uvozovat matici, takže nebude rozšířena.

    a swapwith b

  Přehodit hodnotu proměnné `a` s hodnotou proměnné `b`. V současnosti nepracuje s částmi prvků matice. Vrací `null`. Dostupné od verze 1.0.13.

    increment a

  Zvýšit hodnotu proměnné `a` o 1. V případě, že `a` je matice, je o 1 zvýšen každý prvek. Dělá to vlastně to stejné co `a=a+1`, akorát o něco rychleji. Vrací `null`. Dostupné od verze 1.0.13.

    increment a by b

  Zvýšit hodnotu proměnné `a` o `b`. V případě, že `a` je matice, je o zvýšen každý prvek. Dělá to vlastně to stejné co `a=a+b`, akorát o něco rychleji. Vrací `null`. Dostupné od verze 1.0.13.

Operátor @() dává operátoru : více možností. S ním můžete určovat části matice. Takže a@(2:4,6) jsou řádky 2,3,4 sloupce 6. Nebo a@(,1:2) vám dá první dva sloupce matice. Do operátoru @() můžete i přiřazovat, stačí když je pravou hodnotou matice o stejném rozměru jako určená oblast nebo je to jiný typ hodnoty.

Porovnávací operátory (vyjma operátoru <=>, který se chová normálně) nejsou striktně binární operátory, mohou být fakticky seskupovány běžným matematickým způsobem, např.: (1<x<=y<5) je platný pravdivostní výraz a znamená přesně to, co by měl, tj. (1<x a x≤y a y<5)

Unární operátor mínus funguje různými způsoby v závislosti na tom, kde se vyskytuje. Když se objeví před číslem, váže se přímo k němu. Když se objeví před výrazem, má slabší vazbu než mocnina a faktoriál. Například `-1^k` je ve skutečnosti `(-1)^k`, ale `-neco(1)^k` je ve skutečnosti `-(neco(1)^k)`. Takže věnujte pozornost tomu, jak je používáte a pokud máte pochybnosti, raději přidejte závorky.

## Programování s jazykem GEL

### Podmínky

Syntaxe:

    if <expression1> then <expression2> [else <expression3>]

Pokud je vynecháno `else` a `výraz1` je vyhodnocen jako `false` nebo 0, je vráceno `NULL`.

Příklady:

    if(a==5)then(a=a-1)
    if b<a then b=a
    if c>0 then c=c-1 else c=0
    a = ( if b>0 then b else 1 )

Všimněte si, že když je `=` použito uvnitř výrazu pro `if`, je změněno na `==`, takže

    if a=5 then a=a-1

bude interpretováno jako:

    if a==5 then a:=a-1

### Smyčky

#### Smyčky while

Syntaxe:

    while <expression1> do <expression2>
    until <expression1> do <expression2>
    do <expression2> while <expression1>
    do <expression2> until <expression1>

Je to podobné jako v jiných jazycích. Jelikož v jazyce GEL jde ve skutečnosti jen o výraz, musí vracet nějakou hodnotu a proto konstrukce vrací výsledek poslední iterace nebo `NULL`, pokud žádná iterace neproběhne. V pravdivostních výrazech se `=` převádí na `==`, stejně jako u příkazu `if`.

#### Smyčky for

Syntaxe:

    for <identifier> = <from> to <to> do <body>
    for <identifier> = <from> to <to> by <increment> do <body>

Smyčka s identifikátorem, který je postupně nastaven na všechny hodnoty od `<from>` do `<to>`, volitelně se použije jiný krok než 1. Jedná se o rychlejší, hezčí a kompaktnější řešení, než je normální smyčka uvedená výše, ale je méně flexibilní. Identifikátor musí být identifikátor a nemůže být dereferencí. Hodnota identifikátoru je poslední hodnotou identifikátoru nebo `<from>`, pokud tělo nebylo vůbec vyhodnoceno. Je zaručeno, že proměnná bude po smyčce inicializována, takže ji můžete bezpečně použít. `<from>`, `<to>` a `<increment>` nesmí být komplexní hodnoty. Není zaručeno, že bude dosaženo `<to>`, ale rozhodně nebude nikdy překročeno, například následující kód vypíše lichá čísla od 1 do 19:

    for i = 1 to 20 by 2 do print(i)

#### Smyčky foreach

Syntaxe:

    for <identifier> in <matrix> do <body>

Pro každý prvek matice, postupně řádek po řádku zleva doprava, se provede tělo s identifikátorem nastaveným na aktuální prvek. Když chcete vypsat čísla 1,2,3 a 4 právě v takovémto pořadí, můžete to udělat takto:

    for n in [1,2:3,4] do print(n)

Jestli potřebujete projít řádky a sloupce matice, můžete použít funkce RowsOf a ColumnsOf, které vrací vektor řádků nebo sloupců matice. Takže

    for n in RowsOf ([1,2:3,4]) do print(n)

vypíše [1,2] a pak [3,4].

#### Break a continue

Ve smyčkách můžete použít také příkazy `break` a `continue`. Příkaz `continue` posune smyčku na začátek následující iterace, zatímco příkaz `break` aktuální smyčku ukončí.

    while(<expression1>) do (
      if(<expression2>) break
      else if(<expression3>) continue;
      <expression4>
    )

### Součty a součiny

Syntaxe:

    sum <identifier> = <from> to <to> do <body>
    sum <identifier> = <from> to <to> by <increment> do <body>
    sum <identifier> in <matrix> do <body>
    prod <identifier> = <from> to <to> do <body>
    prod <identifier> = <from> to <to> by <increment> do <body>
    prod <identifier> in <matrix> do <body>

Když `for` nahradíte za `sum` nebo `prod`, pak místo smyčky `for` získáte součet nebo součin. Místo aby byla vrácena poslední hodnota, je vrácen součet nebo součin hodnot.

Pokud tělo není vůbec provedeno (například `sum i=1 to 0 do …`), vrátí `sum` hodnotu 0 a `prod` hodnotu 1, což je standardní konvence.

### Porovnávací operátory

V jazyce GEL jsou podporovány následující porovnávací operátory a mají obvyklý význam: `==`, `>=`, `<=`, `!=`, `<>`, `<`, `>`. Vrací `true` nebo `false`. Operátory `!=` a `<>` jsou stejné a znamenají „není rovno“. GEL podporuje také operátor `<=>`, který vrací -1, když je levá strana menší, 0, když jsou si strany rovny, a 1, když je levá strana větší.

Pokud se `=` vyskytne někde, kde GEL očekává podmínku, jako v podmínce if, je převedeno na `==`. Například

    if a=b then c
    if a==b then c

jsou v jazyce GEL totéž. Ale jestli chcete, aby váš kód byl dobře čitelný a abyste se vyvarovali chyb, měli byste ve skutečnosti používat jako operátor porovnání nebo přiřazení `==` nebo `:=`.

Všechny operátory porovnávání (vyjma operátoru `<=>`, který se chová normálně), nejsou striktně binární operátory, takže mohou být seskupovány běžným matematickým způsobem, např. (`1<x<=y<5`) je platný pravdivostní výraz a znamená přesně to, co by měl, což je (1<x a x≤y a y<5)

Pro sestavení logických výrazů používejte slov `not`, `and`, `or` a `xor`. Operátory `or` a `and` jsou zrádné v tom, že vyhodnocují své argumenty jeden po druhém, takže zde funguje obvyklý trik pro podmíněné vyhodnocení. Například `1 or a=1` nikdy nenastaví `a=1`, protože první argument je pravdivý.

### Globální proměnné a působnost proměnných

GEL je jazyk s dynamickým rozsahem platnosti. Co to znamená hned vysvětlíme. Je to to, že normální proměnné a funkce mají dynamicky vymezenou platnost. Výjimkou jsou proměnné parametrů, kterou jsou vždy globální.

Podobně jako většina programovacích jazyků, i GEL má různé typy proměnných. Když je proměnná normálně definována ve funkci, je viditelná z této funkce a ze všech funkcí, které jsou z ní volány (všechny kontexty s vyšším číslem). Například předpokládejme, že funkce `f` definuje proměnnou `a` a pak volá funkci `g`. Potom se funkce `g` může odkazovat na proměnnou `a`. Ale jakmile dojde k návratu z funkce `f`, platnost `a` zaniká. Např. následují kód vypíše 5. Funkce `g` nemůže být volána z nejvyšší úrovně (mimo funkci `f`, protože proměnná `a` pak není definována).

    function f() = (a:=5; g());
    function g() = print(a);
    f();

Pokud definujete proměnnou uvnitř funkce, přepíše jinou proměnnou definovanou ve volající funkci. Například upravíme předchozí kód a napíšeme:

    function f() = (a:=5; g());
    function g() = print(a);
    a:=10;
    f();

Tento kód bude stále vypisovat 5. Ale když zavoláte `g` mimo funkci `f`, dostanete ve výpise 10. Všimněte si, že nastavení `a` na 5 uvnitř funkce `f` nemění hodnotu `a` ve nejvyšší (globální) úrovni, takže když si nyní ověříte hodnotu `a`, bude stále 10.

Argumenty funkce jsou úplně stejné jako proměnné definované uvnitř funkce vyjma toho, že jsou inicializovány na hodnotu, která je funkci předána. Kromě této jediné věci se s nimi zachází úplně stejně, jako se všemi ostatními proměnnými definovanými uvnitř funkce.

S funkcemi je zacházeno stejně jako s proměnnými. Proto také můžete lokálně předefinovávat funkce. Normálně (v nejvyšší úrovni) nemůžete předefinovávat chráněné proměnné a funkce. Ale lokálně to udělat můžete. Uvažujme následující situaci:

    genius> function f(x) = sin(x)^2
    = (`(x)=(sin(x)^2))
    genius> function f(x) = sin(x)^2
    = (`(x)=(sin(x)^2))
    genius> function g(x) = ((function sin(x)=x^10);f(x))
    = (`(x)=((sin:=(`(x)=(x^10)));f(x)))
    genius> g(10)
    = 1e20

Funkce a proměnné definované v nejvyšší úrovni jsou považovány za globální. Jsou viditelné odkudkoliv. Jak již bylo řečeno, následující funkce `f` nezmění hodnotu `a` na 5.

    a=6;
    function f() = (a:=5);
    f();

Občas je ale nutné nastavit globální proměnnou uvnitř funkce. Když je takové chování zapotřebí, použijte funkci `set`. Předáním řetězce nebo identifikátoru s uvozovkou do této funkce se nastaví globální proměnná (v nejvyšší úrovni). Například pro nastavení `a` na hodnotu 3 byste mohli zavolat:

    set(`a,3)

nebo:

    set("a",3)

Funkce `set` nastavuje vždy globální proměnné v nejvyšší úrovni. Neexistuje žádný způsob, jak nastavit lokální proměnnou v nějaké funkce z podřízené funkce. Pokud něco takového potřebujete, musíte jedině použít předání reference (odkazu).

Takže sesumírováno do technického jazyka: Genius pracuje s různými očíslovanými kontexty. Nejvyšší úroveň je kontext 0 (nula). Kdykoliv se vstoupí do funkce, je kontext zvýšen a když se funkce opouští, je kontext snížen. Funkce nebo proměnná je vždy viditelná ze všech kontextů, které mají vyšší číslo. Když byla proměnná definována v kontextu s nižším číslem, má nastavení této proměnné vliv na vytváření nové lokální proměnné v aktuálním čísle kontextu a tato proměnná bude nyní viditelná ze všech kontextů s vyšším číslem.

Existují i skutečně lokální proměnné, které nejsou vidět nikde jinde, než v aktuálním kontextu. Rovněž při vracení funkcí hodnotou je možné odkazovat na proměnnou, která není viditelná z vyššího kontextu a to může být problém. Viz oddíl Skutečně lokální proměnné a Vracení funkcí.

### Proměnné parametrů

Jak jsme uvedli již dříve, existují speciální proměnné nazývané parametry, které jsou platné všude. Pro deklaraci parametru nazvaného `foo` s počáteční hodnotou 1, napište

    parameter foo = 1

Od toho okamžiku je `foo` striktně globální proměnnou. Nastavením proměnné `foo` uvnitř funkce se změní proměnná ve všech kontextech, což je tím, že funkce nemají privátní kopii parametrů.

Když zrušíte definici parametru pomocí funkce `undefine`, přestane být parametrem.

Některé parametry jsou vestavěné a mění chování kalkulátoru Genius.

### Návrat hodnot

Normálně je funkce tvořena jedním nebo několika výrazy oddělenými středníky a vrací se hodnota posledního výrazu. To je fajn pro jednoduché funkce, ale někdy nechcete, aby funkce vracela to, co vypočítala naposledy. Můžete se například chtít vrátit z prostředku funkce. V takovém případě můžete použít klíčové slovo `return`. `return` přebírá jeden argument, který je hodnotou, která bude vrácena.

Příklad:

    function f(x) = (
      y=1;
      while true do (
        if x>50 then return y;
        y=y+1;
        x=x+1
      )
    )

### Reference

Pro některé funkce je nutné, aby vracely více než jednu hodnotu. To lze zajistit vrácením vektoru hodnot, ale častokrát je praktičtější použít předávání reference (odkazu) na proměnnou. Předáte funkci referenci na proměnnou a funkce proměnnou nastaví pomocí dereference. Nemusíte se s používáním referencí omezovat jen na tento účel, ale tohle je jejich hlavní využití.

Když používáte funkce, které vracejí hodnoty skrze reference v seznamu argumentů, jednoduše předejte název proměnné s ampersandem. Například následující kód bude počítat vlastní čísla matice `A` s počátečním vlastním vektorem odhadů `x` a uloží vypočítaný vlastní vektor do proměnné pojmenované `v`:

    RayleighQuotientIteration (A,x,0.001,100,&v)

V detailech fungování a syntaxi jsou reference podobné jako v jazyku C. Operátor `&` odkazuje na proměnnou a `*` provádí dereferenci proměnné. Obojí lze uplatnit pouze na identifikátory, takže `**a` není v jazyce GEL platný výraz.

Reference je nejlépe vysvětlit na příkladu:

    a=1;
    b=&a;
    *b=2;

`a` nyní obsahuje 2. Můžete používat i reference na funkce:

    function f(x) = x+1;
    t=&f;
    *t(3)

vrátí 4.

### L-hodnoty

L-hodnota je levou stranou v přiřazení. Jinými slovy, l-hodnota to, do čeho přiřazujete. Platné l-hodnoty jsou:

`a`

  Identifikátor. V tomto případě by se nastavila proměnná s názvem `a`.

`*a`

  Dereference identifikátoru. Nastaví to, na co proměnná `a` ukazuje.

`a@(<část>)`

  Část matice. Část je určena normálně jako u běžného operátoru @() a může být jedinou hodnotou nebo celou oblastí matice.

Příklad:

    a:=4
    *tmp := 89
    a@(1,1) := 5
    a@(4:8,3) := [1,2,3,4,5]'

Poznamenejme, že oba operátory `:=` a `=` lze zaměňovat. Jedinou výjimkou je, když se objeví v podmínce. Proto je bezpečnější dodržovat pravidlo, že `:=` se použije, když myslíte přiřazení, a `==`, když máte na mysli porovnání.

## Pokročilé programování v jazyce GEL

### Obsluha chyb

Pokud je zjištěna chyba ve vaší funkci, provádění funkce se přeruší. Pro normální chyby, jako jsou nesprávné typy argumentů, můžete vyvolat selhání funkce přidáním výrazu `bailout`. Když nastane něco opravdu špatného a vy chcete aktuální výpočet kompletně zabít, můžete použít `exception`.

Když například chcete ve své funkci kontrolovat argumenty, můžete použít následující kód.

    function f(M) = (
      if not IsMatrix (M) then (
        error ("M není matice!");
        bailout
      );
      …
    )

### Syntaxe v nejvyšší úrovni

Syntaxe se lehce liší, když zadáváte příkazy v nejvyšší úrovni a když jsou uvnitř závorek nebo uvnitř funkce. Na nejvyšší úrovni zadání funguje stejně, jako když zmáčknete Enter na příkazovém řádku. Proto uvažujte o programu, jako o sekvenci řádků, které byste zadávali na příkazovém řádku. Především nepotřebujete zadávat oddělovač na konci řádku (ledaže se jedná o část několika příkazů v závorkách).

Následující kód skončí chybou, pokud jej zadáte v nejvyšší úrovni programu, zatímco ve funkci bude pracovat v pohodě.

Problémem je, že po té, co matematický nástroj Genius uvidí konec řádku po druhém řádku, usoudí, že příkaz už je celý a provede jej. Po té, co je provádění dokončeno, bude matematický nástroj Genius pokračovat na následujícím řádku, uvidí `else`, a vyvolá chybu zpracování. Řešením je použít závorek. Matematický nástroj Genius nebude spokojen, dokud nenalezne všechny závorky uzavřené.

    if Neco() then (
      UdelatNeco()
    ) else (
      UdelatNecoJineho()
    )

### Vracení funkcí

Existuje možnost, jak vracet funkce jako hodnoty. Tímto způsobem můžete vytvářet funkce, které konstruují funkce pro speciální účely podle určitých parametrů. Trochu trik je, jak udělat proměnné, aby je funkce viděla. Způsob, který funguje v jazyce GEL je, že když funkce vrací jinou funkci, tak všechny identifikátory odkazované v těle funkce, které jdou mimo rozsah působnosti, mají předřazen privátní slovník vracené funkce. Takže funkce bude vidět všechny proměnné, které byly v rozsahu působnosti, když byla definována. Například nadefinujeme funkci, která vrací funkci, která přičítá 5 ke svému argumentu.

    function f() = (
      k = 5;
      `(x) = (x+k)
    )

Všimněte si, že funkce přičítá `k` k `x`. Použili byste ji následovně:

    g = f();
    g(5)

A `g(5)` by mělo vrátit 10.

Jedna věc, kterou je potřeba si uvědomit, je, že hodnota `k`, která je použita, je ve skutečnosti ta ve chvíli, kdy se vrací funkce `f`. Například

    function f() = (
      k := 5;
      function r(x) = (x+k);
      k := 10;
      r
    )

bude vracet funkci, která ke svému argumentu přičítá 10 a ne 5. To proto, že je vytvořen dodatečný slovník, jen když kontext, ve kterém končí definice funkce, je ten jako když se funkce `f` vrací. Což je konzistentní s tím, jak byste očekávali, že bude funkce `r` pracovat uvnitř funkce `f` podle pravidel o rozsahu působnosti proměnných v jazyce GEL. Do dodatečného slovníku jsou přidány jen ty proměnné, které jsou v kontextu, který právě končí a nadále již neexistuje. Proměnné použité ve funkci, které jsou ve stále platném kontextu, budou pracovat obvykle s použitím aktuální hodnoty proměnné. Jediný rozdíl je v globálních proměnných a funkcích. Všechny identifikátory, které odkazovaly na globální proměnné ve chvíli, kdy definice funkce není přidána do privátního slovníku. To je kvůli tomu, aby se zabránilo nepotřebné práci, když se vrací funkce a zřídka by byly problémem. Například předpokládejme, že vymažete z funkce `f` výraz „n=5“ a v nejvyšší úrovni definujete `k`, které bude řekněme 5. Když pak spustíte funkci `f`, funkce `r` nebude proměnnou `k` vkládat do privátního slovníku, protože je v době definice `r` globální (v nejvyšší úrovni).

Někdy je lepší mít větší kontrolu na tím, jak jsou proměnné kopírovány do privátního slovníku. Od verze 1.0.7 můžete určovat, které proměnné jsou kopírovány do privátního slovníku tak, že za argumenty vložíte dodatečné hranaté závorky se seznamem proměnných oddělených čárkou, které se mají kopírovat. Pokud tak učiníte, proměnné jsou zkopírovány do privátního slovníku v okamžiku definice funkce a dodatečně se již slovník nemění. Například

    function f() = (
      k := 5;
      function r(x) [k] = (x+k);
      k := 10;
      r
    )

bude vracet funkci, která při zavolání přičte 5 ke svému argumentu. Lokální kopie `k` byla vytvořena ve chvíli, kdy byla funkce definována.

Když chcete, aby funkce neměla žádný privátní slovník, tak vložte za seznam argumentů prázdné hranaté závorky. V takovém případě nebude vytvořen vůbec žádný privátní slovník. To je dobré pro zvýšení efektivity v situacích, kdy žádný privátní slovník není zapotřebí nebo když chcete, aby funkce hledala všechny proměnné takové, jaké jsou v okamžiku volání. Například předpokládejme že chcete, aby funkce vracená funkcí `f` viděla hodnotu `n` z nejvyšší úrovně, přestože existuje lokální proměnná stejného jména během definování. Potom kód

    function f() = (
      k := 5;
      function r(x) [] = (x+k);
      r
    );
    k := 10;
    g = f();
    g(10)

bude vrace 20 a ne 15, což by nastalo v případě, že `n` s hodnotou 5 bylo přidáno do privátního slovníku.

### Skutečně lokální proměnné

Když předáváte funkce do jiných funkcí, může být normální rozsah působnosti proměnných nežádoucí. Například u

    k := 10;
    function r(x) = (x+k);
    function f(g,x) = (
      k := 5;
      g(x)
    );
    f(r,1)

budete pravděpodobně chtít, aby funkce `r` při předání jako `g` do `f` viděla v proměnné `k` hodnotu 10 a ne 5, a kód tak vracel 11 a ne 6. Ale tak, jak je to napsáno, funkce při spuštění bude vidět `k` rovno 5. Existují dva způsoby, jak to vyřešit. Jeden je přimět funkci `r`, aby dostala `k` v privátním slovníku pomocí notace s hranatými závorkami, jak je ukázáno v kapitole Vracení funkcí.

Je zde ale i jiné řešení. Od verze 1.0.7 jsou k dispozici skutečně lokální proměnné. Jde o proměnné, které jsou viditelné pouze z aktuálního kontextu a ne z jakékoliv volané funkce. Mohli bychom definovat `k` jako lokální proměnnou ve funkci `f`. Uděláte to tak, že přidáte příkaz `local` jako první příkaz ve funkci (musí to být vždy první příkaz ve funkci). Lokální proměnnou můžete udělat také z kteréhokoliv argumentu. Pak to bude takto

    function f(g,x) = (
      local g,x,k;
      k := 5;
      g(x)
    );

a kód bude pracovat jak očekáváte a vypisovat 11. Upozorňujeme, že příkaz `local` inicializuje všechny odkazované proměnné (vyjma argumentů funkce) na `null`.

Pokud mají být jako lokální vytvořeny všechny proměnné, můžete místo seznamu proměnných prostě předat hvězdičku. V takovém případě nebudou proměnné inicializovány, dokud opravdu nejsou nastaveny. Takto bude i následující definice `f` pracovat:

    function f(g,x) = (
      local *;
      k := 5;
      g(x)
    );

Je dobrým zvykem, aby všechny funkce, které přebírají jiné funkce jako argumenty, používaly lokální proměnné. Je to způsob, jak zabránit, aby předávaná funkce neviděla implementační podrobnosti a nemátlo ji to.

### Spouštěcí procedura GEL

Nejdříve program hledá soubor nainstalovaných knihoven (přeložená verze `lib.cgel`) v instalační složce, pak se dívá do aktuální složky a po té zkouší načíst nepřeložený soubor nazvaný `~/.geniusinit`.

Pokaždé, když změníte místo instalace knihovny, musíte ji nejprve přeložit pomocí `genius --compile loader.gel > lib.cgel`

### Načítání programů

Někdy můžete mít delší program, který jste zapsali do souboru a chcete jej z tohoto souboru číst. V takové situaci máte dvě možnosti. Můžete mít funkce, které používáte nejčastěji, v souboru `~/.geniusinit`. Nebo, pokud chcete načíst soubor v průběhu sezení (nebo z jiného souboru), můžete napsat na příkazovém řádku `load <seznam názvů souborů>`. To musí být provedeno v nejvyšší úrovni a ne uvnitř nějaké funkce nebo něčeho a nesmí to být součástí výrazu. Má to také mírně odlišnou syntaxi než zbytek příkazů v kalkulátoru Genius, více se to podobá syntaxi shellu. Soubor můžete zadat v uvozovkách. Když použijete uvozovky '', dostanete řetězec přesně tak, jak jste jej zapsali, když uvozovky "", budou zpracovány escape sekvence pro speciální znaky. Například:

    load program1.gel program2.gel
    load "Nezvyklý název souboru s MEZERAMI.gel"

K dispozici jsou také vestavěné příkazy `cd`, `pwd` a `ls`. Příkaz `cd` přijímá jeden argument, `ls` přijímá argument, který je podobný jako u glob v unixovém shellu (např. můžete používat divoké znaky). `pwd` nepřijímá žádné argumenty. Například:

    cd složka_s_programemy_v_jazyce_gel
    ls *.gel

## Matice v jazyce GEL

Genius podporuje vektory a matice a rozsáhlou knihovnu činností s maticemi a funkcí lineární algebry.

### Zadávání matic

K zadávání matic můžete použít jednu z následujících dvou syntaxí. Buď můžete zadat matici na jednom řádku, kdy hodnoty oddělujete čárkami a řádky středníky. Nebo můžete zadávat každý řádek na jednom řádku, kdy hodnoty oddělujete čárkami. Můžete také jednoduše kombinovat obě metody. Takže zadání matice 3×3 z čísel 1 – 9 byste mohli zadat

    [1,2,3;4,5,6;7,8,9]

nebo

    [1, 2, 3
     4, 5, 6
     7, 8, 9]

Přesto nepoužívejte naráz „;“ a enter na stejném řádku.

Při vkládání matic můžete také použít funkci rozšíření matice. Například můžete udělat následující:

    a = [ 1, 2, 3
          4, 5, 6
          7, 8, 9]
    b = [ a,  10
          11, 12]

a měli byste získat

    [1,   2,  3, 10
     4,   5,  6, 10
     7,   8,  9, 10
     11, 11, 11, 12]

Podobně můžete sestavit matice z vektorů a dalších podobných věcí.

Další věcí je, že nezadaná místa se inicializují na 0, takže

    [1, 2, 3
     4, 5
     6]

bude ve výsledku

    [1, 2, 3
     4, 5, 0
     6, 0, 0]

Když jsou matice vyhodnocovány, jsou vyhodnocovány a procházeny po řádcích. Je to úplně stejné jako operátor `M@(j)`, který prochází matice po řádcích.

Věnujte pozornost při vracení z výrazů uvnitř závorek `[ ]`, protože tam mají lehce odlišný význam. Začnete tím nový řádek.

### Operátor konjugované transpozice a transpozice

Konjugovanou transpozici matice můžete provádět pomocí operátoru `'`. Tj. prvek v `i`-tém sloupci a `j`-tém řádku bude komplexním konjugátem prvku v `j`-tém sloupci a `i`-tém řádku původní matice. Například:

    [1,2,3]*[4,5,6]'

Transponujeme druhý vektor, aby bylo možné matici násobit. Pokud chcete matici jen transponovat bez konjugace, použijte operátor `.'`. Například:

    [1,2,3]*[4,5,6i].'

Poznamenejme, že normální transpozice, tj. operátor `.'`, je mnohem rychlejší a nevytváří novou kopii matice v paměti. Konjugovaná transpozice bohužel novou kopii vytváří. Při práci se skutečnými maticemi a vektory je doporučováno vždy používat operátor `.'`.

### Lineární algebra

Genius implementuje velmi užitečné rutiny pro lineární algebru a práci s maticemi. Viz Lineární algebra a Práce s maticemi v kapitole se seznamem funkcí GEL.

Rutiny lineární algebry implementované v jazyce GEL v současnosti nepochází s příliš testovaného balíku pro numeriku a proto by neměly být používány pro kritické numerické výpočty. Na druhou stranu Genius implementuje opravdu hodně operací lineární algebry s racionálními a celočíselnými koeficienty. Ty jsou přirozeně přesné a v praxi vám poskytnou mnohem lepší výsledky, než běžné rutiny pro lineární algebru s dvojitou přesností.

Například je pro praktické účely zbytečné počítat hodnost nebo nulový prostor matice desetinných čísel, musíme vzít v úvahu, že matice mají určité malé chyby. To může vést k tomu, že získáte jiné výsledky, než očekáváte. Problém je, že za malou odchylkou každé matice je plná hodnost a invertovatelnost. Avšak pokud je matice z racionálních čísel, pak hodnost a nulový prostor jsou vždy přesné.

Vzato obecně, když Genius počítá podle určitého prostoru vektorů (například s funkcí `NullSpace`), získá báze jako matici, ve které jsou sloupce vektory báze. Když Genius mluví o lineárním podprostoru, míní tím matici, jejíž prostor sloupců je daný lineární podprostor.

Měli byste vzít na vědomí, že Genius si umí zapamatovat určité vlastnosti matice. Například si bude pamatovat, že je v řádkově redukované podobě. Když je prováděno hodně volání funkcí, které interně používají řádkově redukovanou matici, můžeme matici řádkově redukovat dopředu. Postupná volání `rref` budou velmi rychlá.

## Polynomy v jazyce GEL

V současnosti Genius umí pracovat s polynomy jedné proměnné zapsanými jako vektory a umí s nimi některé základní operace. Do budoucna se počítá s rozšířením této funkcionality.

### Používání polynomů

V současnosti jsou polynomy jedné proměnné prostě jen vodorovné vektory s hodnotami jednotlivých koeficientů. Podstatná je pozice ve vektoru, kdy první pozice je 0. Takže

    [1,2,3]

se převede na polynom

    1 + 2*x + 3*x^2

Polynomy můžete sčítat, odčítat a násobit pomocí funkcí `AddPoly`, `SubtractPoly` a `MultiplyPoly`. Vypisovat je můžete pomocí funkce `PolyToString`. Například

    PolyToString([1,2,3],"y")

vrátí

    3*y^2 + 2*y + 1

Můžete také získat funkci představující polynom, takže jej můžete vyhodnotit. Udělá se to pomocí funkce `PolyToFunction`, ktrá vrací anonymní funkce.

    f = PolyToFunction([0,1,1])
    f(2)

Rovněž je možné hledat kořeny polynomů 1. až 4. stupně pomocí funkce `PolynomialRoots`, která volá funkce s příslušnými vzorci. Vyšší stupně polynomů musí být převedeny na funkce a řešeny numericky pomocí funkcí, jako je `FindRootBisection`, `FindRootFalsePosition`, `FindRootMullersMethod` nebo `FindRootSecant`.

Ohledně ostatních funkcí týkajících se polynomů se podívejte se na v seznamu funkcí.

## Teorie množin v jazyce GEL

Genius má vestavěnou základní funkcionalitu pro teorii množin. V současnosti je množina prostě jen vektor (nebo matice). S každým jednotlivým objektem je zacházeno jako s odlišným prvkem.

### Používání množin

Podobně jako u vektorů, i v množinách mohou být objekty čísla, řetězce, `null`, matice a vektory. Do budoucna je pro množiny plánován samostatný typ namísto vektorů. Upozorňujeme, že desetinná čísla (float) se odlišují od celých čísel (integer), i když vypadají stejně. Takže Genius bude s `0` a `0.0` zacházet jako s různými prvky. `null` je považováno za prázdnou množinu.

K sestavení množiny vektorů použijte funkci `MakeSet`. V současnosti vrátí akorát nový vektor, ve kterém je každý prvek jedinečný.

    genius> MakeSet([1,2,2,3])
    = [1, 2, 3]

Podobně jsou k dispozici funkce `Union`, `Intersection`, `SetMinus`, které vrací sjednocení, průnik a rozdíl množin. Například:

    genius> Union([1,2,3], [1,2,4])
    = [1, 2, 4, 3]

Upozorňujeme, že u vracených hodnot není zaručeno žádné pořadí. Pokud chcete vektor seřadit, měli byste použít funkci `SortVector`.

Pro test, zda je prvkem množiny, slouží funkce `IsIn` a `IsSubset`, které vrací pravdivostní hodnotu. Například:

    genius> IsIn (1, [0,1,2])
    = true

Vstup `IsIn(x,X)` je samozřejmě shodný s `IsSubset([x],X)`. Uvědomte si, že vzhledem k tomu, že prázdná množina je podmnožinou kterékoliv množiny, volání `IsSubset(null,X)` vrátí vždy true (pravda).

## Seznam funkcí GEL

Pro získání nápovědy ke konkrétní funkci napište v konzole:

    help NazevFunkce

### Příkazy

help

      help

      help NázevFunkce

  Vypsat nápovědu (nebo nápovědu k funkci/příkazu).

load

      load "soubor.gel"

  Načíst soubor do interpretru. Obsah souboru bude proveden stejně, jako by byl napsán do příkazového řádku.

cd

      cd /název/složky

  Změnit pracovní složku na `/název/složky`.

pwd

      pwd

  Vypsat název aktuální pracovní složky.

ls

      ls

  Vypsat soubory v aktuální složce.

plugin

      plugin název_zásuvného_modulu

  Načíst zásuvný modul. Zásuvný modul se zadaným názvem musí být v systému nainstalován ve správné složce.

### Základy

AskButtons

      AskButtons (otazka)

      AskButtons (otazka, tlacitko1, ...)

  Položit uživateli otázku a poskytnout mu seznam tlačítek (nebo nabídku voleb v textovém režimu). Vrací index zmáčknutého tlačítka. Index začíná od jedné, tj. vrací 1, když je zmáčknuto první tlačítko, 2, když je zmáčknuto druhé tlačítko atd. Pokud uživatel zavře okno (nebo prostě zmáčkne Enter v textovém režimu), je vráceno `null`. Dokud uživatel nezareaguje, je další provádění programu blokováno.

AskString

      AskString (otazka)

      AskString (otazka, vychozi)

  Položit uživateli otázku a umožnit mu zadat řetězec, který pak bude vrácen. Pokud uživatel dotaz zruší nebo okno zavře, bude vráceno `null`. Provádění programu je blokováno, dokud uživatel neodpoví. Pokud je zadán argument `vychozi`, bude uživateli předvyplněn, takže mu bude stačit zmáčknout Enter.

Compose

      Compose (f,g)

  Složit dvě funkce a vrátit funkci, která je spojením `f` a `g`.

ComposePower

      ComposePower (f,n,x)

  Složit a provést funkci samu se sebou `n` krát, přičemž jí předat argument `x`. Pokud se `n` rovná 0, vrací `x`. Příklad:

      genius> function f(x) = x^2 ;
      genius> ComposePower (f,3,7)
      = 5764801
      genius> f(f(f(7)))
      = 5764801

Evaluate

      Evaluate (retezec)

  Analyzovat a vyhodnotit řetězec.

GetCurrentModulo

      GetCurrentModulo

  Získat aktuální modulo z kontextu mimo funkci. To jest, pokud jste mimo funkci spuštěnou v modulární aritmetice (pomocí `mod`), bude vráceno to, co bylo tímto zbytkem. Normálně není tělo volané funkce prováděno v modulární aritmetice a díky této vestavěné funkci je možné, aby funkce GEL probíhaly v modulární aritmetice.

Identity

      Identity (x)

  Funkce identity, vrací svůj argument.

IntegerFromBoolean

      IntegerFromBoolean (pravdhodnota)

  Udělat z pravdivostní hodnoty celé číslo (0 pro `false` nebo 1 pro `true`). `pravdhodnota` může být i číslo, v kterém tož případě bude nenulová hodnota brána jako `true` a nulová jako `false`.

IsBoolean

      IsBoolean (argument)

  Zkontrolovat, zda je argument pravdivostní hodnota (a ne číslo).

IsDefined

      IsDefined (id)

  Zkontrolovat, zda je id definováno. Měli byste předat řetězec nebo identifikátor. Pokud předáte matici, bude každá položka vyhodnocena samostatně a matice by měla obsahovat řetězce nebo identifikátory.

IsFunction

      IsFunction (argument)

  Zkontrolovat, zda je argument funkcí.

IsFunctionOrIdentifier

      IsFunctionOrIdentifier (argument)

  Zkontrolovat, zda je argument funkcí nebo identifikátorem.

IsFunctionRef

      IsFunctionRef (argument)

  Zkontrolovat, zda je argument odkazem na funkci. Zahrnuje to i odkazy na proměnné.

IsMatrix

      IsMatrix (argument)

  Zkontrolovat, zda je argument maticí. Ačkoliv je `null` občas považováno za prázdnou matici, funkce `IsMatrix` hodnotu `null` za matici nepovažuje.

IsNull

      IsNull (argument)

  Zkontrolovat, zda je argument `null`.

IsString

      IsString (argument)

  Zkontrolovat, zda je argument textovým řetězcem.

IsValue

      IsValue (argument)

  Zkontrolovat, zda je argument číslem.

Parse

      Parse (retezec)

  Analyzovat, ale nevyhodnocovat řetězec. Berte ale na vědomí, že během fáze analýzy se provádí určité předvýpočty.

SetFunctionFlags

      SetFunctionFlags (id,priznaky...)

  Nastavit příznaky pro funkci, v současnosti jsou k dispozici `"PropagateMod"` a `"NoModuloArguments"`. Pokud je nastaveno `"PropagateMod"`, je vyhodnocování těla funkce prováděno v modulární aritmetice v situaci, kdy je funkce volána uvnitř bloku, který je vyhodnocován v modulární aritmetice (pomocí `mod`). Pokud je nastaveno `"NoModuloArguments"`, nejsou argumenty funkce nikdy vyhodnocovány pomocí modulární aritmetiky.

SetHelp

      SetHelp (id,kategorie,popis)

  Nastavit kategorii funkce a řádek jejího popisu v nápovědě.

SetHelpAlias

      SetHelpAlias (id,altnazev)

  Nastavit alternativní název do nápovědy.

chdir

      chdir (složka)

  Změnit aktuální složku, stejné jako `cd`.

display

      display (retezec,vyraz)

  Zobrazit retezec a vyraz navzájem oddělené dvojtečkou.

error

      error (retezec)

  Vypsat retezec do chybového proudu (na konzole).

exit

      exit

  Alternativní názvy: `quit`

  Ukončit program.

false

      false

  Alternativní názvy: `False` `FALSE`

  Pravdivostní hodnota `false` (nepravda).

manual

      manual

  Zobrazit uživatelskou příručku.

print

      print (retezec)

  Vypsat výraz a poté odřádkovat. Argument `retezec` může být libovolný výraz. Před vypsáním je převeden na řetězec.

printn

      printn (retezec)

  Vypsat výraz bez odřádkování. Argument `retezec` může být libovolný výraz. Před vypsáním je převeden na řetězec.

protect

      protect (id)

  Ochránit proměnnou proti změnám. Stejný postup je použit u interních funkcí GEL, aby se zabránilo nechtěnému přepsání.

ProtectAll

      ProtectAll ()

  Ochránit všechny aktuálně definované proměnné, parametry a funkce proti změnám. Stejný postup je použit u interních funkcí GEL, aby se zabránilo nechtěnému přepsání. Normálně matematický nástroj Genius považuje nechráněné proměnné za definované uživatelem.

set

      set (id,hodnota)

  Nastavit globální proměnnou. Argument `id` může být buď řetězec nebo identifikátor s uvozovkou jak je ukázáno dále. Příklad:

      set(`x,1)

  nastaví globální proměnnou `x` na hodnotu 1.
string

      string (s)

  Vytvořit řetězec. Vytvoří řetězec podle libovolného argumentu.

true

      true

  Alternativní názvy: `True` `TRUE`

  Pravdivostní hodnota `true` (pravda).

undefine

      undefine (id)

  Alternativní názvy: `Undefine`

  Zrušit definici proměnné. Což zahrnuje lokální a globální, všechny hodnoty ve všech úrovních kontextu jsou vymazány. Tato funkce by opravdu neměla být používána na lokální proměnné. Je možné předat i vektor identifikátorů a v takovém případě bude zrušena definice několika proměnných.

UndefineAll

      UndefineAll ()

  Zrušit definice všech nechráněných globálních proměnných (včetně funkcí a parametrů). Normálně matematický nástroj Genius považuje chráněné proměnné za funkce a proměnné definované systémem. Upozorňujeme, že funkce `UndefineAll` odstraní pouze globální definice symbolů, lokální ne, takže může být bezpečně spouštěna i z těla jiných funkcí.

unprotect

      unprotect (id)

  Zrušit ochranu proměnné proti změnám.

UserVariables

      UserVariables ()

  Vrátit vektor všech uživatelem definovaných (nechráněných) globálních proměnných.

wait

      wait (sekund)

  Čekat zadaný počet sekund. Počet `sekund` musí být nezáporný. Nula se akceptuje a v takovém případě se nic neprovede, vyjma možnosti, že jsou zpracovány události uživatelského rozhraní.

version

      version

  Vrátit verzi kalkulátoru Genius jako svislý 3prvkový vektor s hlavním číslem jako prvním, následuje vedlejší číslo a nakonec úroveň záplat.

warranty

      warranty

  Poskytnout informace o licenci.

### Parametry

ChopTolerance

      ChopTolerance = číslo

  Tolerance funkce `Chop`.

ContinuousNumberOfTries

      ContinuousNumberOfTries = číslo

  Kolik iterací zkusit pro nalezení limity pro spojitost a limit.

ContinuousSFS

      ContinuousSFS = číslo

  Kolik postupných kroků, aby to bylo v rámci tolerance pro výpočet spojitosti.

ContinuousTolerance

      ContinuousTolerance = číslo

  Tolerance pro spojitost funkcí a výpočet limity.

DerivativeNumberOfTries

      DerivativeNumberOfTries = číslo

  Kolik iterací zkusit pro nalezení limity pro derivaci.

DerivativeSFS

      DerivativeSFS = číslo

  Kolik postupných kroků, aby to bylo v rámci tolerance pro výpočet derivace.

DerivativeTolerance

      DerivativeTolerance = číslo

  Tolerance pro výpočet derivací funkcí.

ErrorFunctionTolerance

      ErrorFunctionTolerance = číslo

  Tolerance funkce `ErrorFunction`.

FloatPrecision

      FloatPrecision = číslo

  Přesnost desetinných čísel.

FullExpressions

      FullExpressions = pravdivostní hodnota

  Vypisovat úplné výrazy, i když mají více než jeden řádek.

GaussDistributionTolerance

      GaussDistributionTolerance = číslo

  Tolerance funkce `GaussDistribution`.

IntegerOutputBase

      IntegerOutputBase = číslo

  Číselná soustava vypisovaných celých čísel.

IsPrimeMillerRabinReps

      IsPrimeMillerRabinReps = číslo

  Počet Miller-Rabinových testů, které se mají spustit na číslo před prohlášením, že je to prvočíslo, ve funkci `IsPrime`.

LinePlotDrawLegends

      LinePlotDrawLegends = číslo

  Říká kalkulátoru genius, aby vykresloval legendy pro funkce čárových grafů, jako třeba `LinePlot`.

LinePlotVariableNames

      LinePlotVariableNames = ["x","y","z","t"]

  Říká kalkulátoru genius, které názvy proměnných jsou použity jako výchozí názvy pro funkce čárových grafů, jako třeba `LinePlot` a spol.

LinePlotWindow

      LinePlotWindow = [x1,x2,y1,y2]

  Nastavuje omezení pro funkce čárových grafů, jako třeba `LinePlot`.

MaxDigits

      MaxDigits = číslo

  Maximální počet číslic, který se má zobrazovat.

MaxErrors

      MaxErrors = číslo

  Maximální počet chyb, které se mají zobrazovat.

MixedFractions

      MixedFractions = pravdivostní hodnota

  Pokud je nastaveno na true, budou vypisovány složené zlomky.

NumericalIntegralFunction

      NumericalIntegralFunction = funkce

  Funkce používaná pro numerické integrování v `NumericalIntegral`.

NumericalIntegralSteps

      NumericalIntegralSteps = číslo

  Počet kroků, které se mají provádět v `NumericalIntegral`.

OutputChopExponent

      OutputChopExponent = číslo

  Když je jiné číslo ve vypisovaném objektu (matici nebo hodnotě) větší než 10-OutputChopWhenExponent a vypisované číslo je menší než 10-OutputChopExponent, pak se místo tohoto čísla zobrazí `0.0`.

  Výstup není nikdy osekán, pokud je `OutputChopExponent` nula. Vždy musí být nezáporné celé číslo.

  Jestliže chcete, aby byl výstup vždy osekáván podle `OutputChopExponent`, tak nastavte `OutputChopWhenExponent` na cokoliv většího nebo rovného `OutputChopExponent`.

OutputChopWhenExponent

      OutputChopWhenExponent = číslo

  Kdy osekávat výstup. Viz `OutputChopExponent`.

OutputStyle

      OutputStyle = řetězec

  Styl výstupu, může jít o jeden z `normal`, `latex`, `mathml` nebo `troff`.

  Z větší části to ovlivňuje, jak se vypisují matice a zlomky a je to užitečné pro vkládání do dokumentů. Například to můžete nastavit na latex pomocí:

      OutputStyle = "latex"

ResultsAsFloats

      ResultsAsFloats = pravdivostní hodnota

  Před vypsáním převést všechny výsledky na desetinná čísla.

ScientificNotation

      ScientificNotation = pravdivostní hodnota

  Používat vědeckou notaci.

SlopefieldTicks

      SlopefieldTicks = [svisle,vodorovne]

  Nastavuje počet svislých a vodorovných měřítkových značek v grafu směrového pole. (Viz `SlopefieldPlot`).

SumProductNumberOfTries

      SumProductNumberOfTries = číslo

  Kolik iterací se má zkoušet pro `InfiniteSum` a `InfiniteProduct`.

SumProductSFS

      SumProductSFS = číslo

  Kolik postupných kroků, aby to bylo v rámci tolerance pro `InfiniteSum` a `InfiniteProduct`.

SumProductTolerance

      SumProductTolerance = číslo

  Tolerance pro funkce `InfiniteSum` a `InfiniteProduct`.

SurfacePlotVariableNames

      SurfacePlotVariableNames = ["x","y","z"]

  Říká kalkulátoru genius, které názvy proměnných jsou použity jako výchozí názvy pro funkce plošných grafů, tj. `SurfacePlot`. Uvědomte si, že `z` neodkazuje na závislou (svislou) osu, ale na nezávislou komplexní proměnnou `z=x+iy`.

SurfacePlotWindow

      SurfacePlotWindow = [x1,x2,y1,y2,z1,z2]

  Nastavuje omezení pro vykreslování ploch. (Viz `SurfacePlot`)

VectorfieldNormalized

      VectorfieldNormalized = true

  Zda by měl mít graf vektorového pole normalizovanou délku šipek. Pokud je nastaveno na true, bude vektorové pole ukazovat pouze směr a ne velikost. (Viz `VectorfieldPlot`).

VectorfieldTicks

      VectorfieldTicks = [svisle,vodorovne]

  Nastavuje počet svislých a vodorovných měřítkových značek v grafu vektorového pole. (Viz `VectorfieldPlot`).

### Konstanty

CatalanConstant

      CatalanConstant

  Catalanova konstanta, přibližně 0,915… Je definována jako řada se členy `(-1^k)/((2*k+1)^2)`, kde `k` je z intervalu 0 až nekonečno.

  Více informací najdete v encyklopedii Mathworld (text je v angličtině).

EulerConstant

      EulerConstant

  Alternativní názvy: `gamma`

  Eulerova konstanta gama. Někdy nazývaná také Eulerova-Mascheroniho konstanta.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

GoldenRatio

      GoldenRatio

  Zlatý řez.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

Gravity

      Gravity

  Zrychlení při volném pádu v úrovni hladiny moře.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

e

      e

  Základ přirozeného logaritmu. `e^x` je exponenciální funkce `exp`. Hodnota konstanty je přibližně 2,71828182846…

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

pi

      pi

  Číslo pí, což je poměr obvodu kružnice vůči jejímu průměru. Přibližně to je 3,14159265359…

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

### Práce s čísly

AbsoluteValue

      AbsoluteValue (x)

  Alternativní názvy: `abs`

  Absolutní hodnota čísla `x`, případně modul v případě komplexního čísla `x`. U komplexního čísla to je vlastně vzdálenost `x` od počátku.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia, Planetmath (absolutní hodnota; text je v angličtině), Planetmath (absolutní hodnota komplexního čísla; text je v angličtině), Mathworld (absolutní hodnota; text je v angličtině) nebo Mathworld (absolutní hodnota komplexního čísla; text je v angličtině).

Chop

      Chop (x)

  Nahrazovat velmi malá čísla nulou.

ComplexConjugate

      ComplexConjugate (z)

  Alternativní názvy: `conj` `Conj`

  Vypočítá komplexně sdružené číslo ke komplexnímu číslu `z`. Pokud je `z` vektor nebo matice, vypočítají se komplexně sdružená čísla pro všechny prvky.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

Denominator

      Denominator (x)

  Získat jmenovatel racionálního čísla.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

FractionalPart

      FractionalPart (x)

  Vrátit část čísla za desetinnou čárkou.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).

Im

      Im (z)

  Alternativní názvy: `ImaginaryPart`

  Vrátit imaginární část komplexního čísla.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

IntegerQuotient

      IntegerQuotient (m,n)

  Dělit beze zbytku.

IsComplex

      IsComplex (num)

  Zkontrolovat, zda je argument komplexní (ne reálné) číslo.

IsComplexRational

      IsComplexRational (num)

  Zkontrolovat, zda je argument komplexní racionální číslo. Tzn., že jak reální, tak imaginární část jsou zadány jako racionální čísla. Racionálním se samozřejmě myslí, že „není uloženo jako desetinné číslo s plovoucí čárkou“.

IsFloat

      IsFloat (num)

  Zkontrolovat, zda je argument desetinné číslo s plovoucí desetinnou čárkou (ne komplexní).

IsGaussInteger

      IsGaussInteger (num)

  Alternativní názvy: `IsComplexInteger`

  Zkontrolovat, zda je argument komplexní celé číslo.

IsInteger

      IsInteger (num)

  Zkontrolovat, zda je argument celé číslo (ne komplexní).

IsNonNegativeInteger

      IsNonNegativeInteger (num)

  Zkontrolovat, zda je argument nezáporné reálné celé číslo.

IsPositiveInteger

      IsPositiveInteger (num)

  Alternativní názvy: `IsNaturalNumber`

  Zkontrolovat, zda je argument kladné reálné celé číslo. Upozorňujeme, že se řídíme konvencí, že 0 není přirozené číslo.

IsRational

      IsRational (num)

  Zkontrolovat, zda je argument racionální (ne komplexní) číslo. Racionální samozřejmě prostě znamená „není uloženo jako desetinné číslo s plovoucí čárkou“.

IsReal

      IsReal (num)

  Zkontrolovat, zda je argument reálné číslo.

Numerator

      Numerator (x)

  Získat čitatel racionálního čísla.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

Re

      Re (z)

  Alternativní názvy: `RealPart`

  Vrátit reálnou část z komplexního čísla.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

Sign

      Sign (x)

  Alternativní názvy: `sign`

  Vrátit znaménko čísla. Konkrétně vrací `-1` u záporných čísel, `0` pro nulu a `1` u kladných čísel. Pokud je `x` komplexní hodnota, pak `Sign` vrací směr nebo 0.

ceil

      ceil (x)

  Alternativní názvy: `Ceiling`

  Vrátit nejmenší celé číslo, které je větší nebo rovno `n`.

exp

      exp (x)

  Exponenciální funkce. Jedná se o funkci `e^x`, kde `e` je základ přirozeného logaritmu.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

float

      float (x)

  Udělá z čísla desetinné číslo. Tzn., že vrací hodnotu čísla `x` v podobě čísla s plovoucí desetinnou čárkou.

floor

      floor (x)

  Alternativní názvy: `Floor`

  Vrátit nejvyšší celé číslo, které je menší nebo rovno `n`.

ln

      ln (x)

  Přirozený logaritmus, logaritmus o základu `e`.

log

      log (x)

      log (x,b)

  Logaritmus `x` o základu `b` (v režimu modulární aritmetiky nazýván `DiscreteLog`), pokud není základ uveden, použije se `e`.

log10

      log10 (x)

  Logaritmus čísla `x` o základu 10.

log2

      log2 (x)

  Alternativní názvy: `lg`

  Logaritmus čísla `x` o základu 2.

max

      max (a,argumenty...)

  Alternativní názvy: `Max` `Maximum`

  Vrací maximum z argumentů nebo matice.

min

      min (a,argumenty...)

  Alternativní názvy: `Min` `Minimum`

  Vrátit minimum z argumentů nebo matice.

rand

      rand (velikost...)

  Generovat náhodné desetinné číslo z intervalu `[0,1)`. Pokud je zadána velikost, pak se vygeneruje matice (zadána dvě čísla) nebo vektor (zadáno jedno číslo) této velikosti.

randint

      randint (max,velikost...)

  Generovat náhodné číslo z intervalu `[0,max)`. Pokud je zadána velikost, pak se vygeneruje matice (zadána dvě čísla) nebo vektor (zadáno jedno číslo) této velikosti. Například

      genius> randint(4)
      = 3
      genius> randint(4,2)
      =
      [0      1]
      genius> randint(4,2,3)
      =
      [2      2       1
       0      0       3]

round

      round (x)

  Alternativní názvy: `Round`

  Zaokrouhlit číslo.

sqrt

      sqrt (x)

  Alternativní názvy: `SquareRoot`

  Druhá odmocnina. Při práci v režimu modulární aritmetiky s celými čísly vrací buď `null` nebo vektor druhých odmocnin. Příklady:

      genius> sqrt(2)
      = 1.41421356237
      genius> sqrt(-1)
      = 1i
      genius> sqrt(4) mod 7
      =
      [2      5]
      genius> 2*2 mod 7
      = 4
      genius> 5*5 mod 7
      = 4

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

trunc

      trunc (x)

  Alternativní názvy: `Truncate` `IntegerPart`

  Oříznout číslo na celé číslo (vrátí celou část).

### Trigonometrie

acos

      acos (x)

  Alternativní názvy: `arccos`

  Funkce arkus kosinus (inverzní kosinus).

acosh

      acosh (x)

  Alternativní názvy: `arccosh`

  Funkce arkus hyperbolický kosinus (inverzní cosh).

acot

      acot (x)

  Alternativní názvy: `arccot`

  Funkce arkus kotangens (inverzní kotangens).

acoth

      acoth (x)

  Alternativní názvy: `arccoth`

  Funkce arkus hyperbolický kotangens (inverzní coth).

acsc

      acsc (x)

  Alternativní názvy: `arccsc`

  Funkce inverzní kosekans.

acsch

      acsch (x)

  Alternativní názvy: `arccsch`

  Funkce inverzní hyperbolický kosekans.

asec

      asec (x)

  Alternativní názvy: `arcsec`

  Funkce inverzní sekans.

asech

      asech (x)

  Alternativní názvy: `arcsech`

  Funkce inverzní hyperbolický sekans.

asin

      asin (x)

  Alternativní názvy: `arcsin`

  Funkce arkus sinus (inverzní sinus).

asinh

      asinh (x)

  Alternativní názvy: `arcsinh`

  Funkce arkus hyperbolický sinus (inverzní sinh).

atan

      atan (x)

  Alternativní názvy: `arctan`

  Vypočítat funkce arkus tangens (inverzní tangens).

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

atanh

      atanh (x)

  Alternativní názvy: `arctanh`

  Funkce arkus hyperbolický tangens (inverzní tanh).

atan2

      atan2 (y, x)

  Alternativní názvy: `arctan2`

  Vypočítat funkci arctan2. Jestliže je `x>0`, pak vrací `atan(y/x)`. Jestliže je `x<0`, vrací `sign(y) * (pi - atan(|y/x|)`. A při `x=0` vrací `sign(y) * pi/2`. Volání `atan2(0,0)` vrací 0 namísto selhání.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

cos

      cos (x)

  Vypočítat funkci kosinus.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

cosh

      cosh (x)

  Vypočítat funkci hyperbolický kosinus.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

cot

      cot (x)

  Funkce kotangens.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

coth

      coth (x)

  Funkce hyperbolický kotangens.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

csc

      csc (x)

  Funkce kosekans.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

csch

      csch (x)

  Funkce hyperbolický kosekans.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

sec

      sec (x)

  Funkce sekans.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

sech

      sech (x)

  Funkce hyperbolický sekans.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

sin

      sin (x)

  Vypočítat funkci sinus.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

sinh

      sinh (x)

  Vypočítat funkci hyperbolický sinus.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

tan

      tan (x)

  Vypočítat funkci tangens.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

tanh

      tanh (x)

  Funkce hyperbolický tangens.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

### Teorie čísel

AreRelativelyPrime

      AreRelativelyPrime (a,b)

  Jsou reálná celá čísla `a` a `b` nesoudělná? Vrací `true` nebo `false`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

BernoulliNumber

      BernoulliNumber (n)

  Vrátit `n`-té Bernoulliho číslo.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

ChineseRemainder

      ChineseRemainder (a,m)

  Alternativní názvy: `CRT`

  Najít pomocí čínské věty o zbytcích `x`, které řeší systém zadaný vektorem `a`, a zbytky prvků `m`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

CombineFactorizations

      CombineFactorizations (a,b)

  Jsou-li dány dva rozklady, vrátit rozklad (faktorizaci) součinu.

  Viz Factorize.

ConvertFromBase

      ConvertFromBase (v,b)

  Převést vektor hodnot udávajících mocniny `b` na číslo.

ConvertToBase

      ConvertToBase (n,b)

  Převést číslo na vektor mocnin prvků o základu `b`.

DiscreteLog

      DiscreteLog (n,b,q)

  Najít diskrétní logaritmus `n` o základu `b` v Fq, konečné grupě řádu `q`, kde `q` je prvočíslo, pomocí Silverova-Pohligova-Hellmanova algoritmu.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

Divides

      Divides (m,n)

  Zkontrolovat dělitelnost (zda `m` dělí `n`).

EulerPhi

      EulerPhi (n)

  Spočítat Eulerovu funkci fí pro `n`, to je počet celých čísel mezi 1 a `n`, relativně prvočíselných vůči `n`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

ExactDivision

      ExactDivision (n,d)

  Vrátit `n/d`, ale jen pokud `d` dělí `n`. Pokud `d` nedělí `n`, vrací funkce nesmysly. Pro velmi velká čísla je to rychlejší než operace `n/d`, ale je to samozřejmě použitelné jen v případě, kdy přesně víte, co dělíte.

Factorize

      Factorize (n)

  Vrátit rozklad (faktorizaci) čísla jako matici. První řádek jsou prvočísla v rozkladu (včetně 1) a druhý řádek jsou mocnitelé. Takže například

      genius> Factorize(11*11*13)
      =
      [1      11      13
       1      2       1]

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

Factors

      Factors (n)

  Vrátit všechny činitele čísla `n` jako vektor. Součástí jsou i neprvočíselní činitelé, což zahrnuje také 1 a přímo ono číslo. Takže například pro výpis všech dokonalých čísel (to jsou taková, která jsou součtem všech svých činitelů) až do 1000 můžete udělat toto (je to však značně neefektivní)

      for n=1 to 1000 do (
          if MatrixSum (Factors(n)) == 2*n then
              print(n)
      )

FermatFactorization

      FermatFactorization (n,pokusy)

  Zkusit Fermatův rozklad `n` na `(t-s)*(t+s)`. Pokud to je možné, vrací `t` a `s` jako vektor, jinak vrací `null`. Argument `pokusy` určuje počet pokusu, než se výpočet vzdá.

  Jedná se o docela dobrý rozklad za předpokladu, že je vaše číslo součinem dvou přibližně stejně velkých čísel.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).

FindPrimitiveElementMod

      FindPrimitiveElementMod (q)

  Najít první primitivní prvek v Fq, konečné grupě řádu `q`. Je samozřejmé, že `q` musí být prvočíslo.

FindRandomPrimitiveElementMod

      FindRandomPrimitiveElementMod (q)

  Najít náhodný primitivní prvek v Fq, konečné grupě řádu `q`. Je samozřejmé, že `q` musí být prvočíslo.

IndexCalculus

      IndexCalculus (n,b,q,S)

  Spočítat diskrétní logaritmus `n` o základu `b` v Fq, konečné grupě řádu `q` (`q` prvočíslo) pomocí faktorizační báze `S`. `S` by měl být sloupec prvočísel, pokud možno s druhým sloupcem předpočítaným pomocí `IndexCalculusPrecalculation`.

IndexCalculusPrecalculation

      IndexCalculusPrecalculation (b,q,S)

  Provést přípravný krok výpočtu funkce `IndexCalculus` pro logaritmy o základu `b` v Fq, konečné grupě řádu `q` (`q` prvočíslo), pro faktorizační bázi `S` (kde `S` je sloupcový vektor prvočísel). Logaritmy budou předpočítány a vráceny v druhém sloupci.

IsEven

      IsEven (n)

  Otestovat, zda je celé číslo sudé.

IsMersennePrimeExponent

      IsMersennePrimeExponent (p)

  Zjistit, jestli je kladné celé číslo `p` Mersennovo prvočíslo. Tj. zda 2p-1 je prvočíslo. Provádí se to hledáním v tabulce známých hodnot, která je relativně krátká. Viz také MersennePrimeExponents a LucasLehmer.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině), GIMPS (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

IsNthPower

      IsNthPower (m,n)

  Zjistit, jestli je racionální číslo `m` perfektní `n`-tou mocninou . Viz také IsPerfectPower a IsPerfectSquare.

IsOdd

      IsOdd (n)

  Otestovat, zda je celé číslo liché.

IsPerfectPower

      IsPerfectPower (n)

  Zkontrolovat, zda je celé číslo perfekntí mocninou ab.

IsPerfectSquare

      IsPerfectSquare (n)

  Zkontrolovat, zda je celé číslo perfektní druhou mocninou celého čísla. Číslo musí být přirozené číslo. Záporná celá čísla samozřejmě perfektními druhými mocninami přirozených čísel být nemohou.

IsPrime

      IsPrime (n)

  Testuje prvočíselnost celých čísel, pro čísla menší než 2.5e10 je odpověď deterministická (tedy pokud je Riemannova hypotéza platná). Pro větší čísla závisí falešné kladné odpovědi na `IsPrimeMillerRabinReps`. Což znamená, že pravděpodobnost nesprávné kladné odpovědi je ¼ umocněná na `IsPrimeMillerRabinReps`. Výchozí hodnota 22 dává pravděpodobnost zhruba 5.7e-14.

  Když je vráceno `false`, můžete si být jisti, že se jedná o složené číslo. Jestliže si potřebujete být absolutně jistí, že máte prvočíslo, můžete použít funkci `MillerRabinTestSure`, ale může to trvat trochu déle.``

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

IsPrimitiveMod

      IsPrimitiveMod (g,q)

  Zkontrolovat, zda je `g` primitivní v Fq, konečné grupě řádu `q`, kde `q` je prvočíslo. Pokud `q` není prvočíslo, jsou výsledky nesmyslné.

IsPrimitiveModWithPrimeFactors

      IsPrimitiveModWithPrimeFactors (g,q,f)

  Zkontrolovat, zda je `g` primitivní v Fq, konečné grupě řádu `q`, kde `q` je prvočíslo a `f` je vektor prvočíselných činitelů `q`-1. Pokud `q` není prvočíslo, jsou výsledky nesmyslné.

IsPseudoprime

      IsPseudoprime (n,b)

  Zda je `n` pseudoprvočíslo o základu `b`, ale ne prvočíslo, tj. jestli `b^(n-1) == 1 mod n`. Nazývá se to `malá Fermatova věta`.

IsStrongPseudoprime

      IsStrongPseudoprime (n,b)

  Zjistit, zda je `n` silné pseudoprvočíslo o základu `b`, ale ne prvočíslo.

Jacobi

      Jacobi (a,b)

  Alternativní názvy: `JacobiSymbol`

  Spočítat Jacobiho symbol (a/b) (b by mělo být liché).

JacobiKronecker

      JacobiKronecker (a,b)

  Alternativní názvy: `JacobiKroneckerSymbol`

  Spočítat Jacobiho symbol (a/b) s Kroneckerovým rozšířením (a/2)=(2/a), když `a` je liché, nebo (a/2)=0, když `a` je sudé.

LeastAbsoluteResidue

      LeastAbsoluteResidue (a,n)

  Vrátit zbytek `a` mod `n` s nejmenší absolutní hodnotou (v intervalu -n/2 až n/2).

Legendre

      Legendre (a,p)

  Alternativní názvy: `LegendreSymbol`

  Spočítat Legendrův symbol (a/p).

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

LucasLehmer

      LucasLehmer (p)

  Zjistit pomocí Lucasova-Lehmerova testu, zda je 2p-1 Mersennovo prvočíslo. Viz také MersennePrimeExponents a IsMersennePrimeExponent.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině), Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v agličtině).

LucasNumber

      LucasNumber (n)

  Vrátit `n`-té Lucasovo číslo.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině), Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

MaximalPrimePowerFactors

      MaximalPrimePowerFactors (n)

  Vrátit všechny maximální mocniny prvočísel v rozkladu čísla.

MersennePrimeExponents

      MersennePrimeExponents

  Vektor se známými exponenty Mersennových prvočísel, což je seznam kladných celých čísel `p` takových, že 2p-1 je prvočíslo. Viz také IsMersennePrimeExponent a LucasLehmer.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině), GIMPS (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

MillerRabinTest

      MillerRabinTest (n,opak)

  Použít Millerův-Rabinův test prvočíselnosti na `n`, `opak` udává kolikrát. Pravděpodobnost falešné kladné odpovědi je `(1/4)^opak`. Pravděpodobně je obvykle lepší použít funkci `IsPrime`, protože je rychlejší a lepší u menších celých čísel.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

MillerRabinTestSure

      MillerRabinTestSure (n)

  Použít Millerův-Rabinův test prvočíselnosti na `n` s tolika bázemi, že za předpokladu zobecněné Riemannovy hypotézy je výsledek deterministický.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

ModInvert

      ModInvert (n,m)

  Vrátit převrácenou hodnotu n mod m.

  Více informací najdete v encyklopedii Mathworld (text je v angličtině).

MoebiusMu

      MoebiusMu (n)

  Vrátit Möbiovu funkci μ vyhodnocenu na `n`. Což znamená, že vrátí 0 v případě, že `n` není součin různých prvočísel, a `(-1)^k` v případě, že je součin `k` různých prvočísel.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

NextPrime

      NextPrime (n)

  Vrátit nejmenší prvočíslo větší než `n`. Záporná prvočísla jsou považována za prvočísla, takže předchozí prvočíslo můžete získat jako `-NextPrime(-n)`.

  Tato funkce používá funkci `mpz_nextprime` z knihovny GMP, která zase používá pravděpodobnostní Millerův-Rabinův test (viz také MillerRabinTest). Pravděpodobnost falešné kladné odpovědi není nastavitelná, ale je dostatečně malá pro praktické účely.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

PadicValuation

      PadicValuation (n,p)

  Vrátit p-adické ohodnocení (počet koncových nul v základu `p`).

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

PowerMod

      PowerMod (a,b,m)

  Spočítat `a^b mod m`. `b`-tá mocnina čísla `a` modulo `m`. Tuto funkci není nutné používat, protože se automaticky použije v režimu modulární aritmetiky. Z tohoto důvodu je `a^b mod m` stejně rychlé.

Prime

      Prime (n)

  Alternativní názvy: `prime`

  Vrátit `n`-té prvočíslo (až do limitu).

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

PrimeFactors

      PrimeFactors (n)

  Vrátit v podobě vektoru všechny prvočinitele čísla.

  Více informací najdete v encyklopedii Mathworld (text je v angličtině).

PseudoprimeTest

      PseudoprimeTest (n,b)

  Test pseudoprvočíselnosti, vrací `true` když a jen když `b^(n-1) == 1 mod n`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

RemoveFactor

      RemoveFactor (n,m)

  Odstranit všechny instance činitele `m` z čísla `n`. Prakticky to znamená, že je poděleno nejvyšší mocninou čísla `m`, která je dělitelem `n`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

SilverPohligHellmanWithFactorization

      SilverPohligHellmanWithFactorization (n,b,q,f)

  Najít diskrétní logaritmus `n` o základu `b` v Fq, konečné grupě řádu `q`, kde `q` je prvočíslo, pomocí Silverova-Pohligova-Hellmanova algoritmu, dané `f` je rozkladem `q`-1.

SqrtModPrime

      SqrtModPrime (n,p)

  Najít druhou odmocninu z `n` modulo `p` (kde `p` je prvočíslo). Pokud není kvadratickým zbytkem, je vráceno null.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

StrongPseudoprimeTest

      StrongPseudoprimeTest (n,b)

  Spustit silný test pseudoprvočíselnosti o základu `b` na `n`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

gcd

      gcd (a,argumenty...)

  Alternativní názvy: `GCD`

  Největší společný dělitel celých čísel. V seznamu argumentů můžete uvést libovolný počet celých čísel, nebo je můžete zadat jako vektor nebo matici celých čísel. Pokud zadáte více než jednu matici stejné velikosti, bude největší společný dělitel určen prvek po prvku.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

lcm

      lcm (a,argumenty...)

  Alternativní názvy: `LCM`

  Nejmenší společný násobek celých čísel. V seznamu argumentů můžete uvést libovolný počet celých čísel, nebo je můžete zadat jako vektor nebo matici celých čísel. Pokud zadáte více než jednu matici stejné velikosti, bude nejmenší společný násobek určen prvek po prvku.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

### Práce s maticemi

ApplyOverMatrix

      ApplyOverMatrix (a,fce)

  Použít funkci na všechny prvky matice a vrátit matici výsledků.

ApplyOverMatrix2

      ApplyOverMatrix2 (a,b,fce)

  Použít funkci na všechny prvky 2 matic (nebo 1 hodnoty a 1 matice) a vrátit matici výsledků.

ColumnsOf

      ColumnsOf (M)

  Vrátit sloupce matice jako vodorovný vektor.

ComplementSubmatrix

      ComplementSubmatrix (m,r,c)

  Odstranit sloupec (či slupce) a řádek (či řádky) z matice.

CompoundMatrix

      CompoundMatrix (k,A)

  Spočítat `k`-tou složenou matici matice A.

CountZeroColumns

      CountZeroColumns (M)

  Spočítat počet nulových sloupců v matici. Například jakmile zredukujete sloupce matice, můžete to využít k nalezení nulovosti. Viz `cref` a `Nullity`.

DeleteColumn

      DeleteColumn (M,sloupec)

  Smazat sloupec matice.

DeleteRow

      DeleteRow (M,radek)

  Smazat řádek matice.

DiagonalOf

      DiagonalOf (M)

  Získat diagonální prvky matice jako sloupcový vektor.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

DotProduct

      DotProduct (u,v)

  Získat skalární součin dvou vektorů. Vektory musí mít stejnou velikost. Nepřijímají se konjugované vektory, protože jde o bilineární formu, i když pracuje i s komplexními čísly.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

ExpandMatrix

      ExpandMatrix (M)

  Rozšířit matici, stejně když zadáte matici bez uvozovky. Takto se rozbalí do bloku libovolná interní matice. Je to způsob, jak sestrojit matice z jiných menších a normálně je to prováděno na vstupu automaticky, s výjimkou kdy je matice zadána s uvozovkou.

HermitianProduct

      HermitianProduct (u,v)

  Alternativní názvy: `InnerProduct`

  Získat hermitovský součin dvou vektorů. Vektory musí mít stejnou velikost. Jedná se o polybilineární formu používající jednotkovou matici.

  Více informací najdete v encyklopedii Mathworld (text je v angličtině).

I

      I (n)

  Alternativní názvy: `eye`

  Vrátit jednotkovou matici zadané velikosti, tj. `n` krát `n`. Pokud je `n` rovno 0, vrátí `null`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

IndexComplement

      IndexComplement (vektor,mvelikost)

  Vrátit doplňkový index vektoru indexů. Vše je s jednou bází. Například pro vektor `[2,3]` a velikost `5` dostaneme `[1,4,5]`. Pokud je `mvelikost` rovna 0, vrací vždy `null`.

IsDiagonal

      IsDiagonal (M)

  Je matice diagonální?

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

IsIdentity

      IsIdentity (x)

  Zkontrolovat, zda je matice jednotková. Pokud matice není čtvercová, tak automaticky vrátí `false`. Funguje i pro čísla, v kterémžto případě je to stejné jako `x==1`. Pokud je argument `x` roven `null` (což můžeme považovat za matici 0 krát 0), nezpůsobí to chybu a vrátí `false`.

IsLowerTriangular

      IsLowerTriangular (M)

  Jde o dolní trojúhelníkovou matici? To je taková, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.

IsMatrixInteger

      IsMatrixInteger (M)

  Zkontrolovat, zda je matice maticí z celých (nekomplexních) čísel.

IsMatrixNonnegative

      IsMatrixNonnegative (M)

  Zkontrolovat, zda je matice nezáporná, tj. zda je každý z prvků nezáporný. Nepleťte si pozitivní matice s pozitivně definitními maticemi.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).

IsMatrixPositive

      IsMatrixPositive (M)

  Zkontrolovat, zda je matice pozitivní, tj. zda je každý z prvků kladný (a tudíž reálný). Především není žádný prvek 0. Nepleťte si positivní matice s pozitivně definitními maticemi.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).

IsMatrixRational

      IsMatrixRational (M)

  Zkontrolovat, zda je matice maticí z racionálních (nekomplexních) čísel.

IsMatrixReal

      IsMatrixReal (M)

  Zkontrolovat, zda je matice složená z reálných (na komplexních) čísel.

IsMatrixSquare

      IsMatrixSquare (M)

  Zkontrolovat, zda je matice čtvercová, tj. šířka je stejná jako výška.

IsUpperTriangular

      IsUpperTriangular (M)

  Jde o horní trojúhelníkovou matici? To je taková, která má všechny prvky pod diagonálou nulové.

IsValueOnly

      IsValueOnly (M)

  Zkontrolovat, zda se matice skládá pouze z čísel. Mnoho interních funkcí provádí tuto kontrolu. Hodnoty mohou být libovolná čísla včetně komplexních.

IsVector

      IsVector (v)

  Je argument vodorovný nebo svislý vektor? Genius nerozlišuje mezi maticí a vektorem, vektor je prostě jen matice 1 krát `n` nebo `n` krát 1.

IsZero

      IsZero (x)

  Zkontrolovat, zda se matice skládá jen z nul. Funguje to i pro čísla, kdy je to ekvivalentní výrazu `x==0`. Když je `x` rovno `null` (můžeme to považovat za matici 0 krát 0), nezpůsobí to žádnou chybu, ale vrátí se `true`, protože podmínka je prázdná.

LowerTriangular

      LowerTriangular (M)

  Vrátit kopii matice `M` se všemi prvky nad diagonálou nastavenými na nulu.

MakeDiagonal

      MakeDiagonal (v,argument...)

  Alternativní názvy: `diag`

  Vytvořit diagonální matici z vektoru.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

MakeVector

      MakeVector (A)

  Vytvořit sloupcový vektor z matice poskládáním sloupců na sebe. Pokud je předáno `null`, vrátí `null`.

MatrixProduct

      MatrixProduct (A)

  Spočítat součin všech prvků matice nebo vektoru. To znamená, že se vynásobí všechny prvky a vrátí se číslo, které je násobkem všech těchto prvků.

MatrixSum

      MatrixSum (A)

  Spočítat součet všech prvků matice nebo vektoru. To znamená, že se sečtou všechny prvky a vrátí se číslo, které je součtem všech těchto prvků.

MatrixSumSquares

      MatrixSumSquares (A)

  Spočítat součet druhých mocnin všech prvků matice nebo vektoru.

OuterProduct

      OuterProduct (u,v)

  Získat vnější součin dvou vektorů. Takže, když dejme tomu jsou `u` a `v` svislé vektory, pak vnější součin je `v * u.'`.

ReverseVector

      ReverseVector (v)

  Převrátit pořadí prvků ve vektoru. Pokud je předáno `null`, tak vrací `null`.

RowSum

      RowSum (m)

  Vypočítat součet každého řádku v matici a vrátit svislý vektor s výsledkem.

RowSumSquares

      RowSumSquares (m)

  Spočítat součet druhých mocnin každého řádku v matici.

RowsOf

      RowsOf (M)

  Získat řádky matice jako svislý vektor. Každý z prvků vektoru je vodorovný vektor, který odpovídá řádku matice `M`. Tato funkce je užitečná, když chcete ve smyčce procházet řádky matice. Například takto: `for r in RowsOf(M) do neco(r)`.

SetMatrixSize

      SetMatrixSize (M,radku,sloupcu)

  Vytvořit novou matici zadané velikosti z jiné staré. To znamená, že nová matice bude vrácena jako kopie té staré. Prvky, které přebývají, jsou odříznuty a volné místo je vyplněno nulami. Pokud je argument `radku` nebo `sloupcu` roven nule, je vráceno `null`.

ShuffleVector

      ShuffleVector (v)

  Zamíchat pořadí prvků ve vektoru. Pokud je předáno `null`, tak vrací `null`.

SortVector

      SortVector (v)

  Seřadit prvky vektoru ve vzestupném pořadí.

StripZeroColumns

      StripZeroColumns (M)

  Odstranit všechny čistě nulové sloupce matice `M`.

StripZeroRows

      StripZeroRows (M)

  Odstranit všechny čistě nulové řádky matice `M`.

Submatrix

      Submatrix (m,r,s)

  Vrátit sloupec (či sloupce) a řádek (či řádky) z matice. Je to stejné jako `m@(r,s)`. Argumenty `r` a `s` by měly být vektory se seznamy řádků a sloupců (nebo samostatná čísla, pokud požadujete jen jeden řádek nebo sloupec).

SwapRows

      SwapRows (m,radek1,radek2)

  Prohodit dva řádky v matici.

UpperTriangular

      UpperTriangular (M)

  Vrátit kopii matice `M` se všemi prvky pod diagonálou nastavenými na nulu.

columns

      columns (M)

  Vrátit počet sloupců matice.

elements

      elements (M)

  Vrátit celkový počet prvků matice. Tj. počet sloupců krát počet řádků.

ones

      ones (radku,sloupcu...)

  Vytvořit matici ze samých jedniček (nebo řádkový vektor, pokud je zadán jen jeden argument). Když je `radku` nebo `sloupcu` rovno nule, vrátí `null`.

rows

      rows (M)

  Vrátit počet řádků matice.

zeros

      zeros (radku,sloupcu...)

  Vytvořit matici celou z nul (nebo řádkový vektor, pokud je zadán jen jeden argument). Pokud je argument `radku` nebo `sloupcu` roven nule, je vráceno `null`.

### Lineární algebra

AuxiliaryUnitMatrix

      AuxiliaryUnitMatrix (n)

  Získat pomocnou jednotkovou matici velikosti `n`. Jde o čtvercovou matici ze samých nul vyjma diagonály, na které jsou jedničky. Je to Jordanův blok s jedním vlastním číslem nula.

  Více informací o Jordanově kanonické formě najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

BilinearForm

      BilinearForm (v,A,w)

  Spočítat (v,w) vzhledem k bilineární formě dané maticí A.

BilinearFormFunction

      BilinearFormFunction (A)

  Vrátit funkci takovou, že vyhodnocuje dva vektory vzhledem k bilineární formě dané maticí A.

CharacteristicPolynomial

      CharacteristicPolynomial (M)

  Alternativní názvy: `CharPoly`

  Získat charakteristický polynom v podobě vektoru. Konkrétně vrací koeficienty polynomu počínaje konstantním členem. Jedná se o polynom definovaný pomocí `det(M-xI)`. Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice `M`. Viz CharacteristicPolynomialFunction.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

CharacteristicPolynomialFunction

      CharacteristicPolynomialFunction (M)

  Získat charakteristický polynom v podobě funkce. Jedná se o polynom definovaný pomocí `det(M-xI)`. Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice `M`. Viz CharacteristicPolynomial.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

ColumnSpace

      ColumnSpace (M)

  Získat bázi matice pro prostor sloupců matice. Prakticky se vrátí matice, jejíž sloupce jsou bázemi pro prostor sloupců matice `M`. To je prostor rozložený podle sloupců matice `M`.

CommutationMatrix

      CommutationMatrix (m, n)

  Vrátit komutační matici K(m,n) což je jedinečná matice velikosti m*n krát m*n, která splňuje K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.') pro všechny matice A velikosti m krát n.

CompanionMatrix

      CompanionMatrix (p)

  Doplňková matice polynomu (jako vektor).

ConjugateTranspose

      ConjugateTranspose (M)

  Konjugovaná transpozice matice (adjungovaná). Je to stejné jako operátor `'`.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

Convolution

      Convolution (a,b)

  Alternativní názvy: `convol`

  Spočítat konvoluci dvou vodorovných vektorů.

ConvolutionVector

      ConvolutionVector (a,b)

  Spočítat konvoluci dvou vodorovných vektorů. Výsledek vrátí jako vektor a ne sečtené dohromady.

CrossProduct

      CrossProduct (v,w)

  Vektorový součin dvou vektorů v R3 jako sloupcový vektor.

DeterminantalDivisorsInteger

      DeterminantalDivisorsInteger (M)

  Získat determinantové dělitele celočíselné matice (ne její charakteristiku).

DirectSum

      DirectSum (M,N...)

  Přímý součet matic.

DirectSumMatrixVector

      DirectSumMatrixVector (v)

  Přímý součet vektoru matic.

Eigenvalues

      Eigenvalues (M)

  Alternativní názvy: `eig`

  Získat vlastní čísla čtvercové matice. V současnosti pracuje pouze pro matice do velikosti 4 krát 4 nebo pro trojúhelníkové matice (pro které jsou vlastní čísla na diagonále).

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

Eigenvectors

      Eigenvectors (M)

      Eigenvectors (M,&vlastni_cisla)

      Eigenvectors (M, &vlastni_cisla, &nasobnosti)

  Získat vlastní vektory čtvercové matice. Volitelně získat také vlastní čísla a jejich algebraické násobnosti. V současnosti pracuje pouze s maticemi do velikosti 2 krát 2.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

GramSchmidt

      GramSchmidt (v,B...)

  Použít Gramův-Schmidtův proces (na sloupce) vzhledem k unitárnímu prostoru danému `B`. Pokud `B` není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. `B` může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě. Vektory budou vytvořeny ortogonální vzhledem k `B`.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

HankelMatrix

      HankelMatrix (c,r)

  Hankelova matice.

HilbertMatrix

      HilbertMatrix (n)

  Hilbertova matice řádu `n`.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

Image

      Image (T)

  Získat obraz (sloupcový prostor) lineární transformace.

InfNorm

      InfNorm (v)

  Získat k vektoru normu typu nekonečno, někdy také nazývanou maximální norma.

InvariantFactorsInteger

      InvariantFactorsInteger (M)

  Získat invariantní činitele čtvercové celočíselné matice (ne její charakteristiku).

InverseHilbertMatrix

      InverseHilbertMatrix (n)

  Inverzní Hilbertova matice řádu `n`.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

IsHermitian

      IsHermitian (M)

  Je matice hermitovská? Tj. zda je rovna své konjugované transpozici.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

IsInSubspace

      IsInSubspace (v,W)

  Zjistit, zda je vektor v podprostoru.

IsInvertible

      IsInvertible (n)

  Je matice (nebo číslo) invertovatelná (matice celých čísel je invertovatelná, když je invertovatelná nad celými čísly).

IsInvertibleField

      IsInvertibleField (n)

  Je matice (nebo číslo) invertovatelná nad tělesem.

IsNormal

      IsNormal (M)

  Je `M` normální matice. To jest, zda `M*M' == M'*M`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

IsPositiveDefinite

      IsPositiveDefinite (M)

  Je matice `M` hermitovská pozitivně definitní matice? To znamená, zda je `HermitianProduct(M*v,v)` vždy striktně pozitivní pro libovolný vektor `v`. `M` musí být čtvercová a hermitovská, aby byla pozitivně definitní. Kontrola, zda tomu tak je, spočívá v tom, zda každá hlavní podmatice má nezáporný determinant. (Viz HermitianProduct)

  Poznamenejme, že někteří autoři (např. Mathworld) nevyžadují, aby matice `M` byla hermitovská a tak podmínka není skutečnu částí unitárního prostoru, ale neberte to za dogma. Pokud chcete takovou kontrolu provést, jednoduše zkontrolujte hermitovskou část matice `M` takto: `IsPositiveDefinite(M+M')`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

IsPositiveSemidefinite

      IsPositiveSemidefinite (M)

  Je matice `M` hermitovská pozitivně semidefinitní matice? To znamená, zda je `HermitianProduct(M*v,v)` vždy nezáporná pro libovolný vektor `v`. `M` musí být čtvercová a hermitovská, aby byla pozitivně semidefinitní. Kontrola, zda tomu tak je, spočívá v tom, zda každá hlavní podmatice má nezáporný determinant. (Viz HermitianProduct)

  Poznamenejme, že někteří autoři (např. Mathworld) nevyžadují, aby matice `M` byla hermitovská a tak podmínka není skutečnu částí unitárního prostoru, ale neberte to za dogma. Pokud chcete takovou kontrolu provést, jednoduše zkontrolujte hermitovskou část matice `M` takto: `IsPositiveSemidefinite(M+M')`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

IsSkewHermitian

      IsSkewHermitian (M)

  Je matice antihermitovská? To znamená, zda je konjugovaná transpozice rovna negativní matici.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

IsUnitary

      IsUnitary (M)

  Je matice unitární? To je, zda `M'*M` a `M*M'` dají stejnou jednotkovou matici.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

JordanBlock

      JordanBlock (n,lambda)

  Alternativní názvy: `J`

  Získat Jordanův blok odpovídající vlastnímu číslu `lambda` s násobností `n`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

Kernel

      Kernel (T)

  Získat jádro (nulový prostor) lineární transformace.

  (Viz NullSpace)

LUDecomposition

      LUDecomposition (A, L, U)

  Získat LU rozklad matice `A` a uložit výsledek v `L` a `U`, což by měly být odkazy na proměnné. V případě úspěchu vrací `true`. Například předpokládejme, že A je čtvercová matice, pak po spuštění:

      genius> LUDecomposition(A,&L,&U)

  budete mít dolní matici uloženou v proměnné s názvem `L` a horní matici v proměnné s názvem `U`.

  Jedná se o LU rozklad matice známý také jako Croutův a/nebo Choleského rozklad. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) Horní trojúhelníková matice zahrnuje diagonálu hodnot 1. Nejedná se o Doolittlovu metodu, která zahrnuje diagonálu jedniček do dolní matice.

  Ne všechny matice mají LU rozklad, například `[0,1;1,0]` jej nemá a tato funkce v takovém případě vrátí `false` a nastaví `L` a `U` na `null`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

Minor

      Minor (M,i,j)

  Získat subdeterminant (též minor) `i`-`j` matice.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

NonPivotColumns

      NonPivotColumns (M)

  Vrátit sloupce matice, které nemají pivot.

Norm

      Norm (v,p...)

  Alternativní názvy: `norm`

  Získat normu typu p (nebo typu 2, pokud není zadáno p) vektoru.

NullSpace

      NullSpace (T)

  Získat nulový prostor matice. Tj. jádro lineární transformace, která matici představuje. Výsledek se vrací v podobě matice, jejíž sloupcový prostor je nulovým prostorem z `T`.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

Nullity

      Nullity (M)

  Alternativní názvy: `nullity`

  Získat nulovost matice. Tzn. vrátit rozměry nulového prostoru; rozměry jádra matice `M`.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

OrthogonalComplement

      OrthogonalComplement (M)

  Získat ortogonální doplněk sloupcového prostoru.

PivotColumns

      PivotColumns (M)

  Vrátit sloupce matice s pivoty, tzn. sloupce, které mají 1 v řádkově redukované podobě. Rovněž vrací řádek, ve kterém se vyskytly.

Projection

      Projection (v,W,B...)

  Projekce vektoru `v` do podprostoru `W` vzhledem k unitárnímu prostoru danému `B`. Pokud `B` není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. `B` může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě.

QRDecomposition

      QRDecomposition (A, Q)

  Získat QR rozklad čtvercové matice `A`, vrací horní trojúhelníkovou matici `R` a nastavuje `Q` na ortogonální (unitární) matici. `Q` by měl být odkaz na proměnnou nebo `null`, pokud nic vrátit nechcete. Například pro

      genius> R = QRDecomposition(A,&Q)

  budete mít horní trojúhelníkovou matici uloženou v proměnné s názvem `R` a ortogonální (unitární) matici v `Q`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

RayleighQuotient

      RayleighQuotient (A,x)

  Vrátit Rayleighův podíl (nazývaný také Rayleighův-Ritzův koeficient nebo podíl) matice a vektoru.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

RayleighQuotientIteration

      RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vecref)

  Najít vlastní čísla matice `A` pomocí iterační metody Rayleighova podílu. `x` je odhadovaný vlastní vektor a mohl by být náhodný. Měl by mít nenulovou imaginární část, pokud existuje nějaká možnost, že budou nalezena komplexní vlastní čísla. Kód bude nanejvýše v `maxiter` iteracích a vracet `null`, pokud není možné získat výsledek v rámci chyby `epsilon`. `vecref` by měl být buď `null` nebo odkaz na proměnnou, do které by se měl uložit vlastní vektor.

  Více informací o Rayleighově podíle najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

Rank

      Rank (M)

  Alternativní názvy: `rank`

  Získat hodnost matice.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

RosserMatrix

      RosserMatrix ()

  Rosserova matice, klasický symetrický problém testu vlastního čísla.

Rotation2D

      Rotation2D (úhel)

  Alternativní názvy: `RotationMatrix`

  Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R2.

Rotation3DX

      Rotation3DX (úhel)

  Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy x.

Rotation3DY

      Rotation3DY (úhel)

  Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy y.

Rotation3DZ

      Rotation3DZ (úhel)

  Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy z.

RowSpace

      RowSpace (M)

  Získat bázi matice pro prostor řádků matice.

SesquilinearForm

      SesquilinearForm (v,A,w)

  Vyhodnotit (v,w) vzhledem k polybilineární formě dané maticí `A`.

SesquilinearFormFunction

      SesquilinearFormFunction (A)

  Vrátit funkci vyhodnocující dva vektory vzhledem k polybilineární formě dané maticí `A`.

SmithNormalFormField

      SmithNormalFormField (A)

  Smithův kanonický tvar (normální forma) tělesa (bude končit s jedničkami na diagonále).

SmithNormalFormInteger

      SmithNormalFormInteger (M)

  Smithův kanonický tvar (normální forma) pro čtvercové celočíselné matice (ne její charakteristika).

SolveLinearSystem

      SolveLinearSystem (M,V,argumenty...)

  Vyřešit lineární systém Mx=V, vrátit řešení V, pokud existuje jedinečné řešení, jinak vrátit `null`. Je možné použít dva dodatečné parametry předávané odkazem, ve kterých získáte redukované M a V.

ToeplitzMatrix

      ToeplitzMatrix (s, r...)

  Vrátit Teplitzovu matici sestavenou podle zadaného prvního sloupce `c` a (volitelně) prvního řádku `r`. Pokud je zadán pouze sloupec `c`, je pro první řádek použita konjugovaná a nekonjugovaná verze, aby se získala hermitovská matice (samozřejmě za předpokladu, že je první prvek reálný).

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

Trace

      Trace (M)

  Alternativní názvy: `trace`

  Spočítat stopu matice. Jedná se o součet prvků na hlavní diagonále čtvercové matice.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

Transpose

      Transpose (M)

  Transponovat matici. Funkčně je to stejné, jako operátor `.'`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

VandermondeMatrix

      VandermondeMatrix (v)

  Alternativní názvy: `vander`

  Vrátit Vandermondovu matici.

VectorAngle

      VectorAngle (v,w,B...)

  Úhel dvou vektorů vzhledem k unitárnímu prostoru daného `B`. Pokud `B` není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. `B` může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě.

VectorSpaceDirectSum

      VectorSpaceDirectSum (M,N)

  Přímý součet vektorových prostorů M a N.

VectorSubspaceIntersection

      VectorSubspaceIntersection (M,N)

  Průnik podprostorů daných pomocí M a N

VectorSubspaceSum

      VectorSubspaceSum (M,N)

  Součet vektorových prostorů M a N, tj. {w | w=m+n, m in M, n in N}.

adj

      adj (m)

  Alternativní názvy: `Adjugate`

  Získat adjungovanou (reciproku) matici.

cref

      cref (M)

  Alternativní názvy: `CREF` `ColumnReducedEchelonForm`

  Spočítat sloupcově odstupňovaný tvar matice.

det

      det (M)

  Alternativní názvy: `Determinant`

  Získat determinant matice.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

ref

      ref (M)

  Alternativní názvy: `REF` `RowEchelonForm`

  Získat řádkově odstupňovaný tvar matice. To jest, použít Gaussovu eliminaci, ale bez zpětného dosazování do `M`. Nenulové řádky jsou poděleny, aby všechny pivoty byly 1.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) nebo Planetmath (text je v angličtině).

rref

      rref (M)

  Alternativní názvy: `RREF` `ReducedRowEchelonForm`

  Získat redukovaný řádkově odstupňovaný tvar matice. To jest, použít Gaussovu eliminaci se zpětným dosazováním do `M`.

  Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) nebo Planetmath (text je v angličtině).

### Kombinatorika

Catalan

      Catalan (n)

  Získat `n`-té Catalanovo číslo.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

Combinations

      Combinations (k,n)

  Získat jako vektor vektorů všechny kombinace k-té třídy z prvků 1 až n. (Viz také NextCombination)

DoubleFactorial

      DoubleFactorial (n)

  Dvojitý faktoriál: `n(n-2)(n-4)…`

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

Factorial

      Factorial (n)

  Faktoriál: `n(n-1)(n-2)…`

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

FallingFactorial

      FallingFactorial (n,k)

  Klesající faktoriál: `(n)_k = n(n-1)…(n-(k-1))`

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

Fibonacci

      Fibonacci (x)

  Alternativní názvy: `fib`

  Vypočítat `n`-té Fibonacciho číslo. Tj. číslo definované rekurzivně jako `Fibonacci(n) = Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)` a `Fibonacci(1) = Fibonacci(2) = 1`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

FrobeniusNumber

      FrobeniusNumber (v,arg...)

  Spočítat Frobeniusovo číslo. Tzn. spočítat nejmenší číslo, které nemůže být dáno jako lineární kombinace celých nezáporných čísel zadaných jako vektor nezáporných celých čísel. Vektor může být zadán jako samostatná čísla nebo jeden vektor. Všechna zadaná čísla by měla mít největšího společného dělitele 1.

  Více informací najdete v encyklopedii Mathworld (text je v angličtině).

GaloisMatrix

      GaloisMatrix (kombinacni_pravidlo)

  Galoisova matice daná lineárním kombinačním pravidlem (a_1*x_+…+a_n*x_n=x_(n+1)).

GreedyAlgorithm

      FrobeniusNumber (n,v)

  Najít takový vektor `c` nezáporných celých čísel, že skalární součin s `v` je roven `n`. Když to není možné, vrátí `null`. Vektor `v` by měl být předán seřazený ve vzestupném pořadí a měl by se skládat z nezáporných celých čísel.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

HarmonicNumber

      HarmonicNumber (n,r)

  Alternativní názvy: `HarmonicH`

  Harmonické číslo, `n`-té harmonické číslo řádu `r`.

Hofstadter

      Hofstadter (n)

  Hofstadterova funkce q(n) definovaná jako q(1)=1, q(2)=1, q(n)=q(n-q(n-1))+q(n-q(n-2))

LinearRecursiveSequence

      LinearRecursiveSequence (pocatecni_hodnoty,kombinacni_pravidlo,n)

  Spočítat lineární rekurzivní posloupnost pomocí Galoisova krokování.

Multinomial

      Multinomial (v,arg...)

  Spočítat multinomické koeficienty. Přebírá vektor `k` nezáporných celých čísel a spočítá multinomický koeficient. To odpovídá koeficientu v homogenním polynomu v `k` proměnných s odpovídajícími mocninami.

  Vzorec pro `Multinomial(a,b,c)` se dá napsat jako:

      (a+b+c)! / (a!b!c!)

  Jinými slovy, pokud máme jen dva prvky, pak `Multinomial(a,b)` je to stejné, jako `Binomial(a+b,a)` nebo `Binomial(a+b,b)`.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

NextCombination

      NextCombination (v,n)

  Získat kombinaci, která by následovala po kombinaci `v` v pořadí kombinací, první kombinací by měla být `[1:k]`. To je užitečné, pokud máte hodně kombinací, které chcete projít a nechcete plýtvat pamětí na uložení všech.

  S funkcí Combination byste normálně napsali smyčku jako:

      for n in Combinations (4,6) do (
        NejakaFunkce (n)
      );

  Ale s funkcí NextCombination byste napsali něco takového:

      n:=[1:4];
      do (
        NejakaFunkce (n)
      ) while not IsNull(n:=NextCombination(n,6));

  Viz Combinations.
Pascal

      Pascal (i)

  Získat Pascalův trojúhelník v podobě matice. Vrátí dolní trojúhelníkovou matici `i`+1 krát `i`+1, která je Pascalovým trojúhelníkem po `i` iteracích.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

Permutations

      Permutations (k,n)

  Získat jako vektor vektorů všechny variace `k`-té třídy z prvků 1 až `n` prvků, případně permutace pro `k`=`n`.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia (permutace) a Wikipedia (variace).

RisingFactorial

      RisingFactorial (n,k)

  Alternativní názvy: `Pochhammer`

  (Pochhammerův) stoupacící faktoriál: (n)_k = n(n+1)…(n+(k-1))

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

StirlingNumberFirst

      StirlingNumberFirst (n,m)

  Alternativní názvy: `StirlingS1`

  Stirlingovo číslo prvního druhu.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

StirlingNumberSecond

      StirlingNumberSecond (n,m)

  Alternativní názvy: `StirlingS2`

  Stirlingovo číslo druhého druhu.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

Subfactorial

      Subfactorial (n)

  Subfaktoriál: n! krát suma_{k=1}^n (-1)^k/k!

Triangular

      Triangular (n)

  Spočítat `n`-té trojúhelníkové číslo.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

nCr

      nCr (n,r)

  Alternativní názvy: `Binomial`

  Spočítat kombinace, tj. kombinační číslo. `n` může být libovolné reálné číslo.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

nPr

      nPr (n,k)

  Spočítat počet variací `k`-té třídy z prvků 1 až `n`, respektive počet permutací při `k` rovno `n`.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia (permutace) a Wikipedia (variace).

### Diferenciální/integrální počet

CompositeSimpsonsRule

      CompositeSimpsonsRule (f,a,b,n)

  Integrovat f složeným Simpsonovým pravidlem na intervalu [a,b] s n podintervaly s chybou podle max(f'''')*h^4*(b-a)/180. Upozorňujeme, že n by mělo být sudé.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

CompositeSimpsonsRuleTolerance

      CompositeSimpsonsRuleTolerance (f,a,b,omezeni_ctvrte_derivace,tolerance)

  Integrovat f složeným Simpsonovým pravidlem na intervalu [a,b] s počtem kroků počítaným podle omezení čtvrté derivace a podle požadované tolerance.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

Derivative

      Derivative (f,x0)

  Zkusit spočítat derivaci, nejprve symbolicky a pak numericky.

EvenPeriodicExtension

      EvenPeriodicExtension (f,L)

  Vrátit funkci, která je sudým periodickým rozšířením `f` s poloviční periodou `L`. Tj. funkce definovaná na intervalu `[0,L]` rozšířená, aby byla sudá na `[-L,L]` a pak rozšířená, aby byla periodická s periodou `2*L`.

  Viz také OddPeriodicExtension a PeriodicExtension.

FourierSeriesFunction

      FourierSeriesFunction (a,b,L)

  Vrátit funkci, která je Fourierovu řadou s koeficienty danými vektory `a` (sinové) a `b` (kosinové). Vezměte na vědomí, že `a@(1)` je konstantní koeficient! To znamená, že `a@(n)` odkazuje na člen `cos(x*(n-1)*pi/L)`, zatímco `b@(n)` odkazuje na člen `sin(x*n*pi/L)`. Buďto `a` nebo `b` může být `null`.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

InfiniteProduct

      InfiniteProduct (fce,start,prirustek)

  Zkusit spočítat nekonečný součin funkce s jedním parametrem.

InfiniteProduct2

      InfiniteProduct2 (fce,arg,start,prirustek)

  Zkusit spočítat nekonečný součin funkce se dvěma parametry s fce (arg,n).

InfiniteSum

      InfiniteSum (fce,start,prirustek)

  Zkusit spočítat nekonečný součet funkce s jedním parametrem.

InfiniteSum2

      InfiniteSum2 (fce,arg,start,prirustek)

  Zkusit spočítat nekonečný součet funkce se dvěma parametry s fce (arg,n).

IsContinuous

      IsContinuous (f,x0)

  Zkusit zjistit pomocí výpočtu limity v x0, jestli je funkce reálné proměnné v tomto bodě spojitá.

IsDifferentiable

      IsDifferentiable (f,x0)

  Otestovat na diferencovatelnost aproximací limit zleva a zprava a porovnáním.

LeftLimit

      LeftLimit (f,x0)

  Spočítat limitu zleva funkce reálné proměnné v x0.

Limit

      Limit (f,x0)

  Spočítat limitu funkce reálné proměnné v x0. Zkusí vypočítat limitu zleva i zprava.

MidpointRule

      MidpointRule (f,a,b,n)

  Integrovat trojúhelníkovou metodou (pravidlem prostředního bodu).

NumericalDerivative

      NumericalDerivative (f,x0)

  Alternativní názvy: `NDerivative`

  Zkusit vypočítat numerickou derivaci.

NumericalFourierSeriesCoefficients

      NumericalFourierSeriesCoefficients (f,L,N)

  Vrátit vektor vektorů `[a,b]`, kde `a` jsou kosinové koeficienty a `b` sinové koeficienty Fourierovy řady funkce `f` s poloviční periodou `L` (tj. definovanou na `[-L,L]` a periodicky rozšířenou) s numericky spočítanými koeficienty do `N`-té harmonické. Koeficienty jsou spočítány numerickou integrací pomocí `NumericalIntegral`.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

NumericalFourierSeriesFunction

      NumericalFourierSeriesFunction (f,L,N)

  Vrátit funkci, která je Fourierovou řadou funkce `f` s poloviční periodou `L` (tj. definovanou na `[-L,L]` a periodicky rozšířenou) s numericky spočítanými koeficienty do `N`-té harmonické. Jde o čistě trigonometrickou řadu složenou ze sinů a kosinů. Koeficienty jsou spočítány numerickou integrací pomocí `NumericalIntegral`.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

NumericalFourierCosineSeriesCoefficients

      NumericalFourierCosineSeriesCoefficients (f,L,N)

  Vrátit vektor koeficientů kosinové Fourierovy řady funkce `f` s poloviční periodou `L`. To jest, vezmeme funkci `f` definovanou na `[0,L]`, provedeme sudé periodické rozšíření a spočteme Fourierovu řadu, která má pouze kosinové členy. Řada je spočítána do `N`-té harmonické. Koeficienty jsou spočítány numerickou integrací pomocí `NumericalIntegral`. Poznamenejme, že `a@(1)` je konstantní koeficient! To znamená, že `a@(n)` odkazuje na člen `cos(x*(n-1)*pi/L)`.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

NumericalFourierCosineSeriesFunction

      NumericalFourierCosineSeriesFunction (f,L,N)

  Vráti funkci, která je kosinovou Fourierovu řadou funkce `f` s poloviční periodou `L`. To jest, vezmeme funkci `f` definovanou na `[0,L]`, provedeme sudé periodické rozšíření a spočteme Fourierovu řadu, která má pouze kosinové členy. Řada je spočítána do `N`-té harmonické. Koeficienty jsou spočítány numerickou integrací pomocí `NumericalIntegral`.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

NumericalFourierSineSeriesCoefficients

      NumericalFourierSineSeriesCoefficients (f,L,N)

  Vrátit vektor koeficientů sinové Fourierovy řady funkce `f` s poloviční periodou `L`. To jest, vezmeme funkci `f` definovanou na `[0,L]`, provedeme liché periodické rozšíření a spočteme Fourierovu řadu, která má pouze sinové členy. Řada je spočítána do `N`-té harmonické. Koeficienty jsou spočítány numerickou integrací pomocí `NumericalIntegral`.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

NumericalFourierSineSeriesFunction

      NumericalFourierSineSeriesFunction (f,L,N)

  Vráti funkci, která je sinovou Fourierovu řadou funkce `f` s poloviční periodou `L`. To jest, vezmeme funkci `f` definovanou na `[0,L]`, provedeme liché periodické rozšíření a spočteme Fourierovu řadu, která má pouze sinové členy. Řada je spočítána do `N`-té harmonické. Koeficienty jsou spočítány numerickou integrací pomocí `NumericalIntegral`.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

NumericalIntegral

      NumericalIntegral (f,a,b)

  Integrovat pravidlem nastaveným v NumericalIntegralFunction jako funkcí f od a do b pomocí kroků NumericalIntegralSteps.

NumericalLeftDerivative

      NumericalLeftDerivative (f,x0)

  Zkusit vypočítat numerickou levou derivaci.

NumericalLimitAtInfinity

      NumericalLimitAtInfinity (_f,step_fun,tolerance,serie_pro_uspech,N)

  Pokusit se spočítat limitu f(step_fun(i)) pro i od 1 do N.

NumericalRightDerivative

      NumericalRightDerivative (f,x0)

  Zkusit vypočítat numerickou pravou derivaci.

OddPeriodicExtension

      OddPeriodicExtension (f,L)

  Vrátit funkci, která je lichým periodickým rozšířením `f` s poloviční periodou `L`. Tj. funkce definovaná na intervalu `[0,L]` rozšířená, aby byla lichá na `[-L,L]` a pak rozšířená, aby byla periodická s periodou `2*L`.

  Viz také EvenPeriodicExtension a PeriodicExtension.

OneSidedFivePointFormula

      OneSidedFivePointFormula (f,x0,h)

  Spočítat jednostrannou derivaci pomocí pětibodového vzorce.

OneSidedThreePointFormula

      OneSidedThreePointFormula (f,x0,h)

  Spočítat jednostrannou derivaci pomocí tříbodového vzorce.

PeriodicExtension

      PeriodicExtension (f,a,b)

  Vrátit funkci, která je periodickým rozšířením `f` definované na intervalu `[a,b]` a s periodou `b-a`.

  Viz také OddPeriodicExtension a EvenPeriodicExtension.

RightLimit

      RightLimit (f,x0)

  Spočítat limitu zprava funkce reálné proměnné v x0.

TwoSidedFivePointFormula

      TwoSidedFivePointFormula (f,x0,h)

  Spočítat oboustrannou derivaci pomocí pětibodového vzorce.

TwoSidedThreePointFormula

      TwoSidedThreePointFormula (f,x0,h)

  Spočítat oboustrannou derivaci pomocí tříbodového vzorce.

### Funkce

Argument

      Argument (z)

  Alternativní názvy: `Arg` `arg`

  Argument (orientovaný úhel) komplexního čísla.

DirichletKernel

      DirichletKernel (n,t)

  Dirichletovo jádro řádu n.

DiscreteDelta

      DiscreteDelta (v)

  Vrátit 1, pokud jsou všechny prvky nulové.

ErrorFunction

      ErrorFunction (x)

  Alternativní názvy: `erf`

  Chybová funkce, 2/sqrt(pi) * int_0^x e^(-t^2) dt.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

FejerKernel

      FejerKernel (n,t)

  Fejerovo jádro řádu `n` vyhodnocené v `t`.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

GammaFunction

      GammaFunction (x)

  Alternativní názvy: `Gamma`

  Funkce Gama. V současnosti je implementována pouze pro reálná čísla.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

KroneckerDelta

      KroneckerDelta (v)

  Vrací 1, když se všechny prvky rovnají.

MinimizeFunction

      MinimizeFunction (fce,x,prirust)

  Najít první hodnotu, kdy f(x)=0.

MoebiusDiskMapping

      MoebiusDiskMapping (a,z)

  Möbiova transformace (lineární lomené zobrazení) kruhu na sebe sama ku 0.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

MoebiusMapping

      MoebiusMapping (z,z2,z3,z4)

  Möbiova transformace (lineární lomené zobrazení) pomocí dvojpoměrů z2,z3,z4 ku 1,0 a nekonečnu.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

MoebiusMappingInftyToInfty

      MoebiusMappingInftyToInfty (z,z2,z3)

  Möbiova transformace (lineární lomené zobrazení) pomocí dvojpoměrů nekonečna ku nekonečnu a z2,z3 ku 1 a 0.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

MoebiusMappingInftyToOne

      MoebiusMappingInftyToOne (z,z3,z4)

  Möbiova transformace (lineární lomené zobrazení) pomocí dvojpoměrů nekonečna ku 1 a z3,z4 ku 0 a nekonečnu.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

MoebiusMappingInftyToZero

      MoebiusMappingInftyToZero (z,z2,z4)

  Möbiova transformace (lineární lomené zobrazení) pomocí dvojpoměrů nekonečna ku 0 a z2,z4 ku 1 a nekonečnu.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

PoissonKernel

      PoissonKernel (r,sigma)

  Poissonovo jádro na D(0,1) (nenormalizované na 1, tj. integrál je 2pi).

PoissonKernelRadius

      PoissonKernelRadius (r,sigma)

  Poissonovo jádro na D(0,R) (nenormalizované na 1).

RiemannZeta

      RiemannZeta (x)

  Alternativní názvy: `zeta`

  Riemannova funkce zeta. V současnosti je implementována jen pro reálná čísla.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

UnitStep

      UnitStep (x)

  Funkce jednotkového skoku je rovna 0 pro x<0 a jedné v ostatních případech. Jedná se o integrál Diracovy funkce delta. Bývá také nazývána Heavisideova funkce.

  Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

cis

      cis (x)

  Funkce `cis`, což je to stejné jako `cos(x)+1i*sin(x)`

deg2rad

      deg2rad (x)

  Převést stupně na radiány.

rad2deg

      rad2deg (x)

  Převést radiány na stupně.

### Řešení rovnic

CubicFormula

      CubicFormula (p)

  Vypočítat kořeny kubického (3. stupně) polynomu pomocí kubické rovnice. Polynom by měl být zadán jako vektor koeficientů. Tj. `4*x^3 + 2*x + 1` odpovídá vektoru `[1,2,0,4]`. Vrací sloupcový vektor tří řešení. První řešení je vždy reálné, protože kubická rovnice má vždy jedno reálné řešení.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

EulersMethod

      EulersMethod (f,x0,y0,x1,n)

  Použít klasickou Eulerovu metodu k numerickému řešení y'=f(x,y) pro počáteční `x0`, `y0` měnící se do `x1` s přírůstky `n`, vrací `y` v `x1`.

  Systémy je možné vyřešit jednoduše tak, že `y` musí být všude (sloupcový) vektor. To znamená, že `y0` může být vektor v případech, kdy by `f` mělo přebírat `x` a vektor stejné velikosti pro druhý argument a mělo by vracet vektor stejné velikosti.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

EulersMethodFull

      EulersMethodFull (f,x0,y0,x1,n)

  Použít klasickou Eulerovu metodu k numerickému řešení y'=f(x,y) pro počáteční `x0`, `y0` měnící se do `x1` s přírůstky `n`, vrátit matici 2 krát `n+1` s hodnotami `x` a `y`. Použitelné pro zapojení do LinePlotDrawLine.

  Systémy je možné vyřešit jednoduše tak, že `y` musí být všude (sloupcový) vektor. To znamená, že `y0` může být vektor v případech, kdy by `f` mělo přebírat `x` a vektor stejné velikosti pro druhý argument a mělo by vracet vektor stejné velikosti.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

FindRootBisection

      FindRootBisection (f,a,b,TOL,N)

  Najít kořen funkce pomocí metody bisekce. `TOL` je požadovaná tolerance a `N` je omezení počtu iterací, které mají proběhnout, 0 značí bez omezení. Funkce vrací vektor [uspech,hodnota,iteratce]

FindRootFalsePosition

      FindRootFalsePosition (f,a,b,TOL,N)

  Najít kořen funkce pomocí metody špatné pozice. `TOL` je požadovaná tolerance a `N` je omezení počtu iterací, které mají proběhnout, 0 značí bez omezení. Funkce vrací vektor [uspech,hodnota,iteratce]

FindRootMullersMethod

      FindRootMullersMethod (f,x1,x2,x3,TOL,N)

  Najít kořen funkce pomocí Mullerovy metody. `TOL` je požadovaná tolerance a `N` je omezení počtu iterací, které mají proběhnout, 0 značí bez omezení. Funkce vrací vektor [uspech,hodnota,iteratce]

FindRootSecant

      FindRootSecant (f,a,b,TOL,N)

  Najít kořen funkce pomocí metody tečny. `TOL` je požadovaná tolerance a `N` je omezení počtu iterací, které mají proběhnout, 0 značí bez omezení. Funkce vrací vektor [uspech,hodnota,iteratce]

PolynomialRoots

      PolynomialRoots (p)

  Vypočítat kořeny polynomu (1. až 4. stupně) pomocí jedné z rovnic pro takovéto polynomy. Polynom by měl být zadán jako vektor koeficientů. Tj. `4*x^3 + 2*x + 1` odpovídá vektoru `[1,2,0,4]`. Vrací sloupcový vektor řešení.

  Funkce volá QuadraticFormula, CubicFormula a QuarticFormula.

QuadraticFormula

      QuadraticFormula (p)

  Vypočítat kořeny kvadratického (2. stupně) polynomu pomocí kvadratické rovnice. Polynom by měl být zadán jako vektor koeficientů. Tj. `3*x^2 + 2*x + 1` odpovídá vektoru `[1,2,3]`. Vrací sloupcový vektor dvou řešení.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

QuarticFormula

      QuarticFormula (p)

  Vypočítat kořeny kvartického (4. stupně) polynomu pomocí kvartické rovnice. Polynom by měl být zadán jako vektor koeficientů. Tj. `5*x^4 + 2*x + 1` odpovídá vektoru `[1,2,0,0,5]`. Vrací sloupcový vektor čtyř řešení.

  Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

RungeKutta

      RungeKutta (f,x0,y0,x1,n)

  Použít klasickou neadaptivní Rungeho-Kuttovu metodu čtvrtého řádu k numerickému řešení y'=f(x,y) pro počáteční `x0`, `y0` měnící se do `x1` s přírůstky `n`, vrací `y` v `x1`.

  Systémy je možné vyřešit jednoduše tak, že `y` musí být všude (sloupcový) vektor. To znamená, že `y0` může být vektor v případech, kdy by `f` mělo přebírat `x` a vektor stejné velikosti pro druhý argument a mělo by vracet vektor stejné velikosti.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

RungeKuttaFull

      RungeKuttaFull (f,x0,y0,x1,n)

  Použít klasickou neadaptivní metodu Runge-Kutta čtvrtého řádu k numerickému řešení y'=f(x,y) pro počáteční `x0`, `y0` měnící se do `x1` s přírůstky `n`, vrátit matici 2 krát `n+1` s hodnotami `x` a `y`. Použitelné pro zapojení do LinePlotDrawLine.

  Systémy je možné vyřešit jednoduše tak, že `y` musí být všude (sloupcový) vektor. To znamená, že `y0` může být vektor v případech, kdy by `f` mělo přebírat `x` a vektor stejné velikosti pro druhý argument a mělo by vracet vektor stejné velikosti.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

### Statistika

Average

      Average (m)

  Alternativní názvy: `average` `Mean` `mean`

  Vypočítat průměr z celé matice.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

GaussDistribution

      GaussDistribution (x,sigma)

  Integrál Gaussovy funkce od 0 do `x` (oblast pod normální křivkou).

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

GaussFunction

      GaussFunction (x,sigma)

  Normalizovaného Gaussova funkce rozdělení (normální křivka).

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

Median

      Median (m)

  Alternativní názvy: `median`

  Vypočítat medián z celé matice.

  Více informací najdete v encyklopedii Mathworld (text je v angličtině).

PopulationStandardDeviation

      PopulationStandardDeviation (m)

  Alternativní názvy: `stdevp`

  Spočítat standardní odchylku souboru celé matice.

RowAverage

      RowAverage (m)

  Alternativní názvy: `RowMean`

  Vypočítat průměr každého řádku v matici.

  Více informací najdete v encyklopediích Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

RowMedian

      RowMedian (m)

  Vypočítat medián každého řádku v matici a vrátit sloupcový vektor mediánů.

  Více informací najdete v encyklopedii Mathworld (text je v angličtině).

RowPopulationStandardDeviation

      RowPopulationStandardDeviation (m)

  Alternativní názvy: `rowstdevp`

  Spočítat standardní odchylku souboru řádků matice a vrátit svislý vektor.

RowStandardDeviation

      RowStandardDeviation (m)

  Alternativní názvy: `rowstdev`

  Spočítat standardní odchylku řádků matice a vrátit svislý vektor.

StandardDeviation

      StandardDeviation (m)

  Alternativní názvy: `stdev`

  Spočítat standardní odchylku celé matice.

### Polynomy

AddPoly

      AddPoly (p1,p2)

  Sečíst dva polynomy (vektory).

DividePoly

      DividePoly (p,q,&r)

  Podělit dva polynomy (jako vektory) pomocí dlouhého dělení. Vrátit rozdíl dvou polynomů. Volitelný argument `r` se použije k vrácení zbytku. Zbytek bude mít nižší řád, než polynom `q`.

  Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

IsPoly

      IsPoly (p)

  Zkontrolovat, zda je vektor použitelný jako polynom.

MultiplyPoly

      MultiplyPoly (p1,p2)

  Vynásobit dva polynomy (jako vektory).

NewtonsMethodPoly

      NewtonsMethodPoly (poly,odhad,epsilon,maxn)

  Spustit metodu tečen (Newtonovu metodu) na polynomu a zkusit najít kořen, vrátí se, když dvě po sobě jdoucí hodnoty spadají do epsilon, nebo po maxn pokusech (pak vrátí `null`).

Poly2ndDerivative

      Poly2ndDerivative (p)

  Vypočítat druhou derivaci polynomu (jako vektoru).

PolyDerivative

      PolyDerivative (p)

  Derivovat polynom (jako vektor).

PolyToFunction

      PolyToFunction (p)

  Vytvořit funkci z polynomu (jako vektoru).

PolyToString

      PolyToString (p,prom...)

  Vytvořit řetězec z polynomu (jako vektoru).

SubtractPoly

      SubtractPoly (p1,p2)

  Odečíst dva polynomy (jako vektory).

TrimPoly

      TrimPoly (p)

  Odstranit nuly z polynomu (jako vektoru).

### Teorie množin

Intersection

      Intersection (X,Y)

  Vrátit průnik množin X a Y (X a Y jsou vektory považované za množiny).

IsIn

      IsIn (x,X)

  Vrátit `true` (pravda), pokud je x prvkem množiny X (kde X je vektor považovaný za množinu).

IsSubset

      IsSubset (X, Y)

  Vrátit `true` (pravda), pokud X je podmnožinu Y (X a Y jsou vektory považované za množiny).

MakeSet

      MakeSet (X)

  Vrátit vektor, ve kterém se každý prvek X vyskytuje jen jednou.

SetMinus

      SetMinus (X,Y)

  Vrátit rozdíl množin X-Y (X a Y jsou vektory považované za množiny).

Union

      Union (X,Y)

  Vrátit sjednocení množin X a Y (X a Y jsou vektory považované za množiny).

### Různé

ASCIIToString

      ASCIIToString (vektor)

  Převést vektor hodnost ASCII na řetězec.

AlphabetToString

      AlphabetToString (vektor,abeceda)

  Převést vektor hodnot abecedy (pozic v řetězci abecedy) počítaných od 0 na řetězec.

StringToASCII

      StringToASCII (retezec)

  Převést retezec na vektor hodnot ASCII.

StringToAlphabet

      StringToAlphabet (retezec,abeceda)

  Převést řetězec na vektor hodnot abecedy (pozic v řetězci) počítaných od 0, za neznámé znaky se dosadí -1.

### Symbolické operace

SymbolicDerivative

      SymbolicDerivative (f)

  Zkusit symbolicky derivovat funkci f, kde f je funkce jedné proměnné.

  Příklady:

      genius> SymbolicDerivative(sin)
      = (`(x)=cos(x))
      genius> SymbolicDerivative(`(x)=7*x^2)
      = (`(x)=(7*(2*x)))

SymbolicDerivativeTry

      SymbolicDerivativeTry (f)

  Zkusit symbolicky derivovat funkci f, kde f je funkce jedné proměnné, při neúspěchu vrátit potichu `null`. (Viz `SymbolicDerivative`)

SymbolicNthDerivative

      SymbolicNthDerivative (f,n)

  Zkusit symbolicky n-krát derivovat funkci. (Viz `SymbolicDerivative`)

SymbolicNthDerivativeTry

      SymbolicNthDerivativeTry (f,n)

  Zkusit symbolicky n-krát derivovat funkci, při neúspěchu vrátit potichu `null`. (Viz `SymbolicNthDerivative`)

SymbolicTaylorApproximationFunction

      SymbolicTaylorApproximationFunction (f,x0,n)

  Zkusit sestavit Taylorův polynom do n-tého řádku se středem x0, který aproximuje zadanou funkci. (Viz `SymbolicDerivative`)

### Vykreslování

LinePlot

      LinePlot (fce1,fce2,fce3,…)

      LinePlot (fce1,fce2,fce3,x1,x2,y1,y2)

  Vykreslí funkci (nebo několik funkcí) v podobě čárového grafu. Prvních 10 argumentů jsou funkce, volitelně můžete zadat omezení vykreslovaného okna jako souřadnice `x1`, `x2`, `y1`, `y2`. Pokud žádná omezení nejsou zadána, použijí se aktuálně nastavená omezení (viz `LinePlotWindow`).

  Parametr `LinePlotDrawLegends` ovládá vykreslování legendy.

  Příklady:

      genius> LinePlot(sin,cos)
      genius> LinePlot(`(x)=x^2,-1,1,0,1)

LinePlotClear

      LinePlotClear ()

  Zobrazí okno pro vykreslování a vymaže funkce a ostatní čáry, které jsou v něm vykresleny.

LinePlotDrawLine

      LinePlotDrawLine (x1,y1,x2,y2,…)

      LinePlotDrawLine (v,…)

  Vykreslit čáru z `x1`,`y1` do `x2`,`y2`. `x1`,`y1`, `x2`,`y2` může být pro delší čáry nahrazeno maticí `n` krát 2.

  Lze přidat doplňující parametry pro určení barvy čáry, tloušťky čáry, vykreslovacího okna a šipek. Dělá se to přidáním řetězce `"color"`, `"thickness"`, `"window"` nebo `"arrow"` následovaného barvou jako řetězec, tloušťkou jako celé číslo, oknem jako 4prvkový vektor a pro šipku buď `"origin"` (v počátku), `"end"` (na konci), `"both"` (na obou stranách) `"none"` (nikde). Pro `"window"` můžete místo vektoru zadat také `"fit"` a rozsah x pak bude nastaven přesně a rozsah y bude nastaven s pětiprocentními okraji okolo čáry. Nakonec je možné zadat pomocí `"legend"` řetězec s legendou.

  Příklady:

      genius> LinePlotDrawLine(0,0,1,1,"color","blue","thickness",3)
      genius> LinePlotDrawLine([0,0;1,-1;-1,-1])
      genius> LinePlotDrawLine([0,0;1,1],"arrow","end")
      genius> LinePlotDrawLine(EulersMethodFull(`(x,y)=y,0,3,100),"color","blue","legend","Řešení")

LinePlotParametric

      LinePlotParametric (xfce,yfce,…)

      LinePlotParametric (xfce,yfce,t1,t2,tprirust)

      LinePlotParametric (xfce,yfce,t1,t2,tprirust,x1,x2,y1,y2)

  Vykreslit parametrickou funkci v podobě čárového grafu. Jako první se zadávají funkce pro `x` a `y`, následované volitelnými omezeními `t1,t2,tprirust` pro `t` a pak omezeními v podobě `x1,x2,y1,y2`.

  Pokud žádná omezení nejsou zadána, použijí se aktuálně nastavená omezení (viz `LinePlotWindow`).

  Parametr `LinePlotDrawLegends` ovládá vykreslování legendy.

LinePlotCParametric

      LinePlotCParametric (fce,...)

      LinePlotCParametric (fce,t1,t2,tprirust)

      LinePlotCParametric (fce,t1,t2,tprirust,x1,x2,y1,y2)

  Vykreslit parametrickou funkci komplexní hodnoty v podobě čárového grafu. Jako první se předává funkce, která vrací `x+iy`, následovaná volitelnými omezeními `t1,t2,tprirust` pro `t` a pak omezeními v podobě `x1,x2,y1,y2`.

  Pokud žádná omezení nejsou zadána, použijí se aktuálně nastavená omezení (viz `LinePlotWindow`).

  Parametr `LinePlotDrawLegends` ovládá vykreslování legendy.

SlopefieldClearSolutions

      SlopefieldClearSolutions ()

  Vymazat řešení vykreslená funkcí `SlopefieldDrawSolution`.

SlopefieldDrawSolution

      SlopefieldDrawSolution (x, y, dx)

  Když je aktivní vykreslování směrového pole, vykreslí řešení se zadanou počáteční podmínkou. Použita je standardní Rungeho-Kuttova metoda s přírůstkem `dx`. Řešení v grafu zůstanou, dokud není zobrazen jiný graf nebo není zavolána funkce `SlopefieldClearSolutions`. Pro vykreslení řešení můžete použít i grafické rozhraní a počáteční podmínky zadat pomocí myši.

SlopefieldPlot

      SlopefieldPlot (fce)

      SlopefieldPlot (fce,x1,x2,y1,y2)

  Vykreslit směrové pole. Funkce `fce` by měla přebírat dvě reálná čísla `x` a `y` nebo jedno komplexní číslo. Volitelně můžete zadat omezení vykreslovacího okna jako souřadnice `x1`, `x2`, `y1`, `y2`. Pokud žádná omezení nejsou zadána, použijí se aktuálně nastavená omezení (viz `LinePlotWindow`).

  Parametr `LinePlotDrawLegends` ovládá vykreslování legendy.

  Příklady:

      genius> Slopefield(`(x,y)=sin(x-y),-5,5,-5,5)

SurfacePlot

      SurfacePlot (fce)

      SurfacePlot (fce,x1,x2,y1,y2,z1,z2)

  Vykreslit funkci plochy, která přebírá buď dva argumenty nebo komplexní číslo. Jako první se předává funkce, pak následují omezení `x1`, `x2`, `y1`, `y2`, `z1`, `z2`. Pokud žádná omezení nejsou zadána, použijí se aktuálně nastavená omezení (viz `SurfacePlotWindow`). V současnosti umí Genius vykreslovat jen funkci jedné plochy.

  Příklady:

      genius> SurfacePlot(|sin|,-1,1,-1,1,0,1.5)
      genius> SurfacePlot(`(x,y)=x^2+y,-1,1,-1,1,-2,2)
      genius> SurfacePlot(`(z)=|z|^2,-1,1,-1,1,0,2)

VectorfieldClearSolutions

      VectorfieldClearSolutions ()

  Vymazat řešení vykreslené funkcí `VectorfieldDrawSolution`.

VectorfieldDrawSolution

      VectorfieldDrawSolution (x, y, dt, tdelka)

  Když je aktivní vykreslování vektorového pole, vykreslí řešení se zadanou počáteční podmínkou. Použita je standardní Rungeho-Kuttova metoda s přírůstkem `dt` pro interval délky `tdelka`. Řešení v grafu zůstanou, dokud není zobrazen jiný graf nebo není zavolána funkce `VectorfieldClearSolutions`. Pro vykreslení řešení můžete použít i grafické rozhraní a počáteční podmínky zadat pomocí myši.

VectorfieldPlot

      VectorfieldPlot (fcex, fcey)

      VectorfieldPlot (fcex, fcey, x1, x2, y1, y2)

  Vykreslit dvourozměrné vektorové pole. Funkce `fcex` by měla být dx/dt vektorového pole a funkce `fcey` by měla být dy/dt vektorového pole. Funkce by měly přebírat dvě reálná čísla `x` a `y` nebo jedno komplexní číslo. Pokud je parametr `VectorfieldNormalized` nastaven na `true`, pak je velikost vektorů normalizována. To znamená, že je zobrazen jen směr a velikost ne.

  Volitelně můžete zadat omezení vykreslovaného okna jako souřadnice `x1`, `x2`, `y1`, `y2`. Pokud žádná omezení nejsou zadána, použijí se aktuálně nastavená omezení (viz `LinePlotWindow`).

  Parametr `LinePlotDrawLegends` ovládá vykreslování legendy.

  Příklady:

      genius> VectorfieldPlot(`(x,y)=x^2-y, `(x,y)=y^2-x, -1, 1, -1, 1)

## Příklad programů v jazyce GEL

Zde je funkce, která vypočítává faktoriály:

    function f(x) = if x <= 1 then 1 else (f(x-1)*x)

Naformátovaná odsazováním vypadá takto:

    function f(x) = (
      if x <= 1 then
        1
      else
        (f(x-1)*x)
    )

Tady je přímá portace funkce pro výpočet faktoriálu z manuálové stránky bc. Syntaxe vypadá podobně jako u bc, s tím rozdílem v jazyce GEL, že poslední výraz je to, co je vráceno. Pokud by se místo toho použila funkce `return`, vypadalo by to takto:

    function f(x) = (
      if (x <= 1) then return (1);
      return (f(x-1) * x)
    )

Nejjednodušším způsobem, jak definovat funkci pro výpočet faktoriálu by bylo použití násobení ve smyčce, jak je ukázáno níže. Nejde pravděpodobně o nejkratší a nejrychlejší řešení, ale je to nejlépe čitelná verze.

    function f(x) = prod k=1 to x do k

Následuje větší příklad, který v podstatě předefinovává interní funkci `ref`, aby vypočítávala odstupňovaný kanonický tvar matice. Funkce `ref` je vestavěná a mnohem rychlejší, ale tento příklad má ilustrovat některé komplexnější vlastnosti jazyka GEL.

    # Calculate the row-echelon form of a matrix
    function MyOwnREF(m) = (
      if not IsMatrix(m) or not IsValueOnly(m) then
        (error("ref: argument not a value only matrix");bailout);
      s := min(rows(m), columns(m));
      i := 1;
      d := 1;
      while d <= s and i <= columns(m) do (

        # This just makes the anchor element non-zero if at
        # all possible
        if m@(d,i) == 0 then (
          j := d+1;
          while j <= rows(m) do (
            if m@(j,i) == 0 then
              (j=j+1;continue);
            a := m@(j,);
            m@(j,) := m@(d,);
            m@(d,) := a;
            j := j+1;
            break
          )
        );
        if m@(d,i) == 0 then
          (i:=i+1;continue);

        # Here comes the actual zeroing of all but the anchor
        # element rows
        j := d+1;
        while j <= rows(m)) do (
          if m@(j,i) != 0 then (
            m@(j,) := m@(j,)-(m@(j,i)/m@(d,i))*m@(d,)
          );
          j := j+1
        );
        m@(d,) := m@(d,) * (1/m@(d,i));
        d := d+1;
        i := i+1
      );
      m
    )

## Nastavení

Pokud chcete upravit nastavení matematického nástroje Genius, zvolte Nastavení Předvolby. Oproti parametrům, které poskytuje standardní knihovna je zde navíc pár základních parametrů poskytovaných kalkulátorem. Ty určují, jak se kalkulátor má chovat.

Změna nastavení pomocí GEL

Většina nastavení v aplikaci Genius jsou ve skutečnosti globální proměnné, u kterých můžete zjistit hodnotu a hodnotu jim přiřadit, stejně jako u normálních proměnných. Viz o vyhodnocování a přiřazování proměnných a pro seznam nastavení, která lze tímto způsobem měnit.

Jako příklad uveďme, jak můžete nastavit maximální počet číslic ve výsledcích na 12 tím, že napíšete:

    MaxDigits = 12

### Výstup

Maximum číslic na výstupu

  Maximum číslic ve výsledcích (`MaxDigits`)

Výsledky jako čísla s plovoucí desetinnou čárkou

  Zda by se výsledky měly vždy vypisovat v podobě desetinných čísel (`ResultsAsFloats`)

Čísla s plovoucí desetinnou čárkou ve vědecké notaci

  Zda by desetinná čísla měla být ve vědecké notaci (`ScientificNotation`)

Vždy vypisovat celé výrazy

  Zda by se měly vypisovat úplné výrazy pro vrácené nečíselné hodnoty (delší než řádek) (`FullExpressions`)

Vypisovat smíšené zlomky

  Zda by zlomky měly být vypisovány jako smíšené, například „1 1/3“ místo „4/3“. (`MixedFractions`)

Zobrazovat 0.0, když je desetinné číslo menší než 10^-x (0=nikdy neosekávat)

  Jak osekávat výstup. Ale jen když jsou ostatní sousedící čísla velká. Podívejte se na dokumentaci k parametru `OutputChopExponent`.

Osekávat čísla jen když je jiné číslo větší než 10^-x

  Kdy osekávat výstup. Nastavení je dáno parametrem `OutputChopWhenExponent`. Viz dokumentace k parametru `OutputChopExponent`.

Pamatovat si nastavení výstupu pro další sezení

  Zda by se měla nastavení zadaná ve skupině Volby výstup čísel/výrazů zapamatovat pro příští sezení. Neplatí pro nastavení ve skupině Volby výstupu chyb/informací.

  Když není zaškrtnuto, požívají se při každém spuštění kalkulátoru Genisu výchozí nebo dříve uložená nastavení. Uvědomte si, že nastavení jsou ukládána na konci sezení, takže pokud si chcete uložit výchozí nastavení postupujte následovně: zaškrtněte políčko, matematický nástroj Genius restartujte a u políčka zaškrtnutí zase zrušte.

Zobrazovat chyby v dialogovém okně

  Když je nataveno, budou chyby zobrazovány v samostatném dialogovém okně, když není nastaveno, budou vypisovány v konzole.

Zobrazovat informativní zprávy v dialogovém okně

  Když je nastaveno, budou informativní zprávy zobrazovány v samostatném dialogovém okně, když není nataveno, budou vypisovány v konzole.

Maximum zobrazovaných chyb

  Maximální počet chyb, který je vrácen během jednoho vyhodnocení (`MaxErrors`). Pokud nastavíte na 0, budou vždy vráceny všechny chyby. Obvykle když smyčka způsobí hodně chyb, je nepravděpodobné, že jich bude mít význam více než pár, takže prohlížení dlouhého seznam nemá žádný přínos.

Mimo tyto předvolby existují ještě další předvolby, které mohou být změněny pouze přes prostředí konzoly. Tyto další volby, které se týkají výstupu najdete v kapitole .

`IntegerOutputBase`

  Číselná soustava, která se bude používat pro vypisování celých čísel

`OutputStyle`

  Řetězec, který může nabývat hodnot `„normal“`, `„latex“`, `„mathml“` nebo `„troff“` a bude ovlivňovat, jak se mají vypisovat matice (a samozřejmě i další věci), což je důležité pro vkládání do dokumentů. Styl Normal je výchozí styl výpisu matematického nástroje Genius čitelný pro člověka. Ostatní styly jsou pro sazbu v aplikacích LaTeX, MathML (XML) nebo Troff.

### Přesnost

Přesnost desetinných čísel

  Přesnost desetinných čísel v bitech (`FloatPrecision`). Vemte na vědomí, že změny se použijí až na nově vypočtené hodnoty. Staré hodnoty uložené v proměnných zůstanou samozřejmě v původní přesnosti a pokud je budete chtít s nově nastavenou přesností, musíte je přepočítat. Výjimkou jsou systémové konstanty, jako `pi` nebo `e`.

Pamatovat si nastavené přesnosti pro další sezení

  Zda by se přesnost měla zapamatovat pro příští sezení. Když není zaškrtnuto, požívají se při každém spuštění kalkulátoru Genisu výchozí nebo dříve uložená nastavení. Uvědomte si, že nastavení jsou ukládána na konci sezení, takže pokud si chcete uložit výchozí nastavení postupujte následovně: zaškrtněte políčko, Genius restartujte a u políčka zaškrtnutí zase zrušte.

### Terminál

Terminál představuje konzolu v pracovní oblasti.

Paměť řádků

  Počet řádků, o které se dá v terminálu vracet zpět.

Písmo

  Písmo, které se má používat v terminálu.

Černé na bílém

  Zda se má terminálu používat černá na bílé.

Blikající kurzor

  Zda by měl kurzor v terminálu blikat, když je terminál zaměřen. To může být někdy nepříjemné a vytvářet provoz při nečinnosti v případě, že používáte aplikaci Genius vzdáleně.

### Paměť

Maximum alokovaných uzlů

  Interně se data ukládají do malých úseků paměti. Tato hodnota udává maximální počet úseků, který se může pro výpočty alokovat. Tím se předejde problémům s vyčerpáním paměti při chybách, které paměti spotřebují velké množství, například při rekurzi. Při vyčerpání paměti by došlo ke zpomalení počítače a bylo by obtížné program přerušit.

  Pokud je limit dosažen, matematický nástroj Genius se dotáže, zda si výpočet přejete přerušit nebo se má pokračovat. Jestliže budete pokračovat, žádný limit nebude uplatněn a může nastat, že program paměť vyčerpá. Limit se použije znovu při dalším spuštění programu nebo vyhodnocení výrazu v konzole bez ohledu na to, co jste na dotaz odpověděli.

  Nastavení limitu na nulu znamená, že na množství paměti použité kalkulátorem Genius nebude žádný limit uplatňován.

## O Matematickém nástroji Genius

Matematický nástroj Genius napsal Jiří Lebl (jirka@5z.com). Historie matematického nástroje Genius se datuje do roku 1997. Zprvu se jednalo o kalkulačku pro GNOME, ale postupně přerostl v kalkulátor s pracovním rozhraním. Více informací o něm najdete na webových stránkách Genius.

Pokud chcete oznámit chybu nebo navrhnout vylepšení vztahující se k této aplikaci nebo této příručce, postupujte dle instrukcí v tomto dokumentu.

Tento program je šířen podle ustanovení licence GNU General Public License, vydávané Free Software Foundation; a to buď verze 2 této licence anebo (podle vlastního uvážení) kterékoliv pozdější verze. Kopii této licence naleznete pod tímto odkazem nebo v souboru COPYING přiloženém ke zdrojovým kódům tohoto programu.

Jiří Lebl byl během různých částí vývoje částečně podporován v práci od NSF grantem DMS 0900885 a Univerzitou Illinois v Urbana-Champaign. Software byl využíván jak k výuce, tak k výzkumu.